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『素数の秘密』、『９９９・・』に続いて９９９にこだわる青木です。
今回は『循環小数の秘密』の問題に密接に関連した問題です。
| ５ ７ | ＝０．７１４２８５７１４２８５・・・ |
７１４＋２８５＝９９９になります。
| ３ １７ | ＝0.1764705882352941・・・・・・ |
この循環節を半分に分けて、それぞれを加えると、
17647058＋82352941＝99999999になります。
今、元の分数を
| ｎ ｍ | （ｍ、ｎは互いに素、ｍ＞ｎ）とします。 |
【問題１】
一般に循環節の長さが偶数（２ａ）のとき、
１０とｍが互いに素で、
（『循環小数の秘密』で見たように、言い換えると純循環小数の場合です。）
かつ１０a≡−１（ｍｏｄ ｍ）ならば、循環節を半分にしてそれぞれを加えると、各位の数は全て９になります。
その理由を考えてください。
（素数の秘密とほとんど同じ問題ですが・・・）
未菜実 さんから１０００以下の素数で確認した結果をいただきました。
確かに成り立っています。
【問題２】
問題１の結果はｋ進法でも成立します。
循環節の長さが偶数（２ａ）のとき、
ｋとｍが互いに素で、かつｋa≡−１（ｍｏｄ ｍ）ならば、
循環節を半分にしてそれぞれを加えると、各位の数は全て（ｋ−１）になります。
その理由を考えてください。
◆例
７進法の場合、
| １ １１ | を７進法で表現すると |
半分にして、それぞれ加えると
０４３１１＋６２３５５＝６６６６６となる。
７と１１は互いに素、７5≡−１（ｍｏｄ 11）
【問題３】
問題１，２の条件ｋa≡−１（ｍｏｄ ｍ）は、ｍが素数なら成り立ちます。
その理由を考えてください。
●ヒント
『循環小数の秘密』【問題３】より、ｋ2a≡１（ｍｏｄ ｍ）
以下は茨城県 小川 康幸 さんからの問題です。
【問題４】
cを任意の自然数、qを奇数の素数とする。
m=qcも問題３の条件を満たす。
つまり、n/mの循環節が2aのとき、ka≡-1 (mod m)となる。
問題１，２の条件のka≡-1 (mod m)を満たす自然数mは、素数と、奇素数の冪以外にどのような数があるのかに答えを与えたのが問題５です。
そして、問題１，２の条件のka≡-1 (mod m)を満たすm以外に、
循環節の長さが2aの分数n/mの循環節を半分にして、それぞれ加えたときの各位の和が、k-1になる自然数は存在しないこと、
つまり循環節の長さが2aの分数n/mの循環節を半分にして、それぞれ加えたときの各位の和が、k-1になる自然数mは、
すべて問題１，２の条件のka≡-1 (mod m)を満たす事を示したのが問題６です
【問題５】
nとmは互いに素で、n＜mとなる自然数、
kをmと互いに素な自然数とする。
cを自然数、qを奇素数とする。
問題１，２の条件 ka≡-1 (mod m)は、
m=2qc、4のときも正しい。
【問題６】
問題１，２の条件の逆、つまり循環節の長さが2aの分数n/mの循環節を半分にして、それぞれ加えたときの各位の和が、k-1になるとき、
必ず、ka≡-1 (mod m)となる。
よろしければ電卓を利用してください。
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