『3直線の交点』


【問題1】

平面上に三角形ABCがある。
この平面上に次の(1),(2),(3)を満たすような点A',B',C'を取る。

(1) △A'BC∽△B'CA∽△C'AB

(2) A'B = A'C, B'C = B'A, C'A = C'B

(3) 各点A',B',C'はそれぞれ直線BC,CA,ABに対し点A,B,Cと反対側にある

このとき、3直線AA',BB',CC'はある1点で交わることを示せ。

注:上の3直線の交点はKiepert点と言うそうです。
(岩波、幾何学大辞典より)

【問題2】

今度は次の(i),(ii)を満たすような点A',B',C'を取る。

(i) ∠BAC' = ∠CAB', ∠CBA' = ∠ABC', ∠ACB' = ∠BCA'

(ii) 各点A',B',C'はそれぞれ直線BC,CA,ABに対し点A,B,Cと反対側にある

このとき、3直線AA',BB',CC'はある1点で交わることを示せ。

注:(ii)の条件を適当に書き換えて問題を拡張することもできます。
例えば、(ii)で点A',B',C'すべてを点A,B,Cと同じ側に取っても成り立ちます。

【おまけ】

次の問題は考えても分からなかったので、よかったら考えてみてください。

・【問題2】の状況で、点A',B',C'が正三角形をなすのはどのようなときか?

この問題の特殊な場合としてナポレオンの定理Morleyの定理があります。


 解答用紙はこちらです。 【寄せられた解答】


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