『３直線の交点』

【問題１】

平面上に三角形ABCがある。
この平面上に次の(1),(2),(3)を満たすような点A',B',C'を取る。

(1) △A'BC∽△B'CA∽△C'AB

(2) A'B = A'C, B'C = B'A, C'A = C'B

(3) 各点A',B',C'はそれぞれ直線BC,CA,ABに対し点A,B,Cと反対側にある

このとき、３直線AA',BB',CC'はある１点で交わることを示せ。

注：上の３直線の交点はKiepert点と言うそうです。
（岩波、幾何学大辞典より）

【問題２】

今度は次の(i),(ii)を満たすような点A',B',C'を取る。

(i) ∠BAC' = ∠CAB', ∠CBA' = ∠ABC', ∠ACB' = ∠BCA'

(ii) 各点A',B',C'はそれぞれ直線BC,CA,ABに対し点A,B,Cと反対側にある

このとき、３直線AA',BB',CC'はある１点で交わることを示せ。

注：(ii)の条件を適当に書き換えて問題を拡張することもできます。
例えば、(ii)で点A',B',C'すべてを点A,B,Cと同じ側に取っても成り立ちます。

【おまけ】

次の問題は考えても分からなかったので、よかったら考えてみてください。

・【問題２】の状況で、点A',B',C'が正三角形をなすのはどのようなときか？

この問題の特殊な場合としてナポレオンの定理やMorleyの定理があります。

　解答用紙はこちらです。　【寄せられた解答】

　◆図形問題へもどる

　数学の部屋へもどる