『二項係数の発展問題』

【問題】

自然数 n を 2 進法で表したとき，数字 1 が b 個含まれるならば，
n! の素因数分解における 2 の指数は n - b になることを証明せよ。

より一般に，p を素数として，n を p 進法で表したときの各位の数字の和を b とすれば，
n! の素因数分解における p の指数は
n - b
p - 1 になることを証明せよ。

※『二項係数』の問題の証明の過程で出てきた副産物です。