『二項係数』

【問題】

1以上の整数mに対して、二項係数_2mC_m-1を考えます。

【問題１】

kを適当な正整数として、
_2mC_m-1=2^k-1となるのは、m=1 または m=3 の場合のみである。

確かに、₂C₀=1=2¹-1、
₆C₂=15=2⁴-1となります。

但し、これは私個人の予想に過ぎません。

【問題２】

上記予想が間違っている場合、
_2mC_m-1=2^k-1となるようなmの一般形を求めよ。

この問題は、あるデータ圧縮符号の構造に関する研究から出てきたものです。
コンピュータで探索したところ、
m=16までの範囲では、m=1 または m=3の場合にのみ、
_2mC_m-1=2^k-1となっています。

なお、_2mC_m-1=2^k-1の場合、_2mC_m-1は奇数でなければなりません。

さらに、m=2^t-1（tは任意の正整数）の時に、_2mC_m-1が奇数になることは比較的容易に証明できます。
これが問題解決の糸口のように思うのですが、そこから先が見えていません。