『自然数から自然数への写像』

【問題】

以下，自然数は0を含むとする．

【問題１】

次の条件を満たす自然数から自然数への写像fをすべて求めよ．
(a) f(1)≠0,
(b) 任意の自然数n, mに対して，
　f(n² + m²) = f(n)² + f(m)².

【問題２】

次の条件を満たす自然数から自然数への写像fをすべて求めよ．
(a) f(1)≠0,
(b) 任意の自然数n, mに対して，
　f(n² + m³) = f(n)² + f(m)³.

【問題３】

次の条件を満たす整数から整数への写像fをすべて求めよ．
(a) f(1)＞0,
(b) 任意の整数n, mに対して，
　f(n³ + m³) = f(n)³ + f(m)³.

注：出題者は問題2, 3の答えを知りません．
したがって，解けるという保証はありません．：）
とりあえず，問題2ではf(7)の値，問題3ではf(5)の値を求めてみてください．

【問題４－追加問題】

Q⁺を負でない有理数全体の集合とする．
このとき，次の条件を満たすQ⁺からQ⁺への写像fをすべて求めよ．
(a) f(1)≠0, 1/2,
(b) 任意のx, y∈Q⁺に対して，f(x² + y²) = f(x)² + f(y)².

（一応，答えは用意しています．）

　解答用紙はこちらです。