『鳩の巣箱の原理』

　『９９９』ではお二人の方が「鳩の巣箱の原理」を利用した巧妙な証明を披露してくださいました。

「Ｎ箱の巣箱に（Ｎ＋１）羽の鳩を入れるとすると、ある巣箱には２羽以上の鳩が入る」という当たり前のような原理ですが、なかなか応用が広いです。

そこで今回はこの原理を利用する証明に挑戦していただこうと思います。
（もちろんこの原理を使わない証明もあるのですが）

「鳩」は何か、「巣箱」は何かを見抜くのがポイントです。

【問題１】（整数についての問題）

　７の累乗のうちで、最後が「・・・００１」で終わるような数が存在することを証明してください。

【問題２】（整数についての問題）

　全ての桁が１である整数（１１１・・・１１１）の中に１９９９で割り切れる数があることを証明してください。

【問題３】（図形についての問題）

４１×５の方眼用紙があり、それぞれの方眼には赤、または青の色が塗ってあります。

　
　３行と３列をうまく選ぶと、その３行、３列を並べた中にできる３×３の正方形で、全ての方眼に同じ色が塗られているものが作れることを証明してください。

【問題４】（やや難しい）

　あるプロ棋士は、必ず毎日、何局か将棋を指しています。
ただし１週間には最大１２局までしか指さないとします。

１年間のうちのある連続した何日かの期間で、将棋をちょうど２０局指した期間があることを証明してください。
(もちろん一日単位で考えています。)

参考文献：MATHEMATICAL CIRCLES by Dmitri Fomin,Sergey Genkin and Ilia Itenberg American Mathematical Society