◆東京都 Asami さんからの解答。
【問題１】（整数についての問題）の解答
{104χ+102A+１}×{104ｙ+102B+１}
＝104ｚ+102(A+B)+１
(zはある整数)
とかけるので、
７8＝……801
７12＝……201 に注意すれば、
７20＝……001となる。
【問題１】（整数についての問題）
鳩の巣箱の原理を用いた解答が分かりました。
７1
７2
７3
……
７1000を考えると、
1000で割った余りはどれもが1,……,999のどれかになっているので、
ある1≦i＜j≦1000で、
７i，7jのそれぞれを1000で割った余りは一致している。
従って、
７i(7j-i−１)は1000で割り切れるが、
７iと1000とは互いに素なので
(７j-i−１)は1000で割り切れなければならない。
つまり７j-iを1000で割った余りは１なので、
７j-i＝……001となっている。
【問題３】（図形についての問題）の解答
“行に赤が３つ以上ある”そんな行をすべて持ってくると、少なくともその行が21個存在するとして一般性は失われない。
(もしそうでなければ“青が３つ以上ある”という行について考えればよいからである。)
そのような行を上からA1，……，A21と名付ける。
すると、(A1〜A21の中で考えて)赤の配置されるパターンは
赤が４つ、５つある行に関しては、それぞれ１つ、２つの赤を無視して(無視の仕方は任意でかまわない、)高々１０通りである。
(∵5Ｃ3＝１０)
従って、あるパターンに関しては、A1〜A21の中から少なくとも３つ同じ物が存在しなければならない。
(∵どのパターンも高々２つしか同じ物が無いとすると“赤が３つ以上ある” という行が高々２０個しか存在できなくなってA1〜A21がとれたことに矛盾)
これは題意のような３行３列がとれることを意味している。
【問題４】の解答
a1 …… １日目の対局数
a2 …… ２日目の対局数
………
………
a20 …… 20日目の対局数 とすると
A1 ＝a1
A2 ＝a1+a2
A3 ＝a1+a2+a3
………
A20 ＝a1+a2+a3+……+a20
(T)あるt(1≦t≦20)でAtが20で割り切れるとき。
毎日何局か対局しているので、0＜Atであって、
一方で、
At
＜A20
＜(a1+…+a7)+(a8+…+a14)+(a15+…+a21)
一週間で最大12局しか指さないので、
＜12×3＝36
従ってAt=20である。
(U)A1〜A20のどれも20で割り切れないとき。
余りは1〜19の19通りしかないので、あるi，j(1≦i＜j≦20)で
Ai≡Aj (mod20)となるから、
ai+1+……aj≡0 (mod20)とわかる。
(T)と同様に
0＜ai+1+……ajであり、
ai+1+……aj
＜a1+a2+a3+……+a20
＜(a1+…+a7)+(a8+…+a14)+(a15+…+a21)
＜12×3＝36
であるからai+1+……aj＝20とわかる。
【コメント】
ほとんどお蔵入りになっていた問題なので、解答がきてとても嬉しいです。
この鳩の巣箱の原理を用いた証明は独特の味がありますね。
私の大好物です。
どなたか問題２も解いてくださいね。
◆滋賀県 一平ちゃん さんからの解答。
【問題２】の解答
数列 anを次のように定義します。
a1=1,a2=11,a3=111,
......
anは１がn個からなるn桁の数。
これらの数を１９９９で割れば余りは０から１９９８までの、１９９９通りになるから、
ai+j，aiの２つが余りが同じになるように選ぶことができる。
この２数に関して
ai+j-ai=111.....111000....000 （＊）となり
この数（＊）は１がj個並んだ後、０がi個並ぶ数である。
さて １９９９ ｜ （＊） よって
１９９９ ｜ 11...111×１０i
１９９９と１０iは互いに素であるから
１９９９ ｜ １１...111(j桁）
従って証明された。