『Ｘ/Ｙ+Ｙ/Ｚ+Ｚ/Ｘ』

　東京都　未菜実さんからの問題（質問）です。
どなたか答えてあげてください。

【問題】

Ｘ、Ｙ、Ｚ　を　自然数とする時

Ｓ＝Ｘ
Ｙ + Ｙ
Ｚ + Ｚ
Ｘ　を満たす自然数Ｓは特定の値しか取らない。

1≦Ｘ、Ｙ、Ｚ≦1000で調べてみたところ
Ｓ=3,5,6,9,14,19,41,66　の８つだけでした。

なぜ、こうなるのでしょうか？
数が大きくなるとこのＳはどうなるのでしょうか？　
（Ｓ＝84178が存在するのはわかっています。）