◆埼玉県 \aleph_0 さんからの解答。
（趣味で文字を変えてしまいましたが，ご容赦ください．）
まず正整数a, b, cに対して
| f(a,b,c)＝ | a b |
+ | b c |
+ | c a |
とおきます．
ここでf(ad,bd,cd)＝f(a,b,c)に注意して，
A＝{(a,b,c) | gcd(a,b,c)＝1, f(a,b,c)は整数},
Q＝{f(a,b,c) | (a,b,c)∈A}
とおきます．このとき次の補題が成り立ちます．
（vp(a)はaのp進付値（＝aを割り切るpの最高ベキ）を表します．）
補題1．
(a,b,c)∈Aとし，pを素数とする．
(a) pがa, b, cのいずれかを割り切れば，pはそれらのうちのちょうど二つを割り切る．
(b) pがa, bを割り切るならば，vp(b)＝2vp(a).
証明．
まずs＝a2c＋b2a＋c2b, t＝abcとおくと，
f(a,b,c)＝s/tより，t|sに注意する．
(a) 対称性より，p|aとして一般性を失わない．
このときp|b, p|cとすると，p|s, p|tとなり矛盾．
一方，p|b, p|cとすると，gcd(a,b,c)≠1となり矛盾．
したがって，pはb, cのいずれか一方を割り切る．
(b) まず(a)より，vp(c)＝0に注意する．
今e＝vp(a)＞0, f＝vp(b)＞0とおくと，
vp(s)＝min{2e, f}, vp(t)＝e＋f.
このときf＜2eとすると，vp(s)＝f＜vp(t)となり矛盾．
したがって，f≧2e.
さらにf＞2eとすると，vp(s)＝2e＜vp(t)となり矛盾．
したがって，f＝2e.□
今(a,b,c)∈Aに対して，x＝(c,a), y＝(a,b), z＝(b,c)とおきます．
（以下，混乱の恐れがない限り，(a,b)＝gcd(a,b)と略記します．）
このときgcd(a,b,c)＝1より，x, y, zは対ごとに素であることに注意します．
また補題1（および対称性）より，
a＝x2y, b＝y2z, c＝z2xとなることが分かります．
| そしてこのとき，f(a,b,c)＝ | x3＋y3＋z3 xyz | は整数になります． |
逆に，正整数x, y, zに対して
| g(x,y,z)＝ | x3＋y3＋z3 xyz | , |
X＝{(x,y,z) | x, y, zは対ごとに素，g(x,y,z)は整数}
とおきます．
このとき(x,y,z)∈Xに対して，a＝x2y, b＝y2z, c＝z2xとおけば，
gcd(a,b,c)＝1, f(a,b,c)＝g(x,y,z),
x＝(c,a), y＝(a,b), z＝(b,c)
が容易に確かめられます．
以上より，次の定理が示されました．
定理2．
写像φ:X→A, (x,y,z)|→(x2y,y2z,z2x)は全単射である．
写像ψ:A→X, (a,b,c)|→((c,a),(a,b),(b,c))が逆写像を与える．
さらにこのとき，g＝f・φ, f＝g・ψが成り立つ．□
定理2より，特に
Q＝{g(x,y,z) | (x,y,z)∈X}
が分かります．さて，次の命題は容易に示されます．
命題3．
整数nに対して，an＝n2＋n＋1(＞0)とおく．
このとき，2, an, a-nは対ごとに素で，
g(2,an,a-n)＝n2＋5.
したがって，(2,an,a-n)∈X.□
命題3より，{n2＋5 | nは整数}⊂Qが分かります．
特に，Qは無限集合です．
なお，次の数がQに含まれていることがコンピュータの助けで確認されました．
（もちろん，このほかにもあるかもしれません．）
3, 5, 6, 9, 10, 13, 14, 17, 18, 19,
21, 26, 29, 30, 38, 41, 51, 53, 54, 57,
66,69, 77, 83, 86, 94, 105, 106, 126, 129,
147, 149, 154, 161, 166, 174, 178, 195, 201, 209,
230, 237, 243, 250, 261, 269, 294, 323, 326, 329,
339, 366, 405, 446, 451, 478, 489, 526, 534, 542,
570, 581, 622, 629, 630, 633, 638, 681, 726, 734,
789, 846, 893, 905, 966, 978,....