【問題１】
どの４点も同一平面上にない６点があり、どの２点も赤か青の線分で結ばれている。
このとき、同色の３辺を持つ三角形が必ず存在する。
その理由を示せ。
【問題２】
７点があり、どの点も他の４点以上と直接線で結ばれている。
このとき、これらの線に沿って移動できるものとすると、
どの点からであっても、必ず他のすべての点を１度ずつ通って戻ってこれる。
その理由を示せ。
【問題３】
図のように、どの２円も２交点を持つように３円が重なっている。
（３円が重なるとは、図の黄色部分のような領域が存在することを意味する。）
このとき、各２円の２交点を結ぶ３本の線分は、必ず１点で交わる。
その理由を示せ。
【問題４】
先生がある８人の生徒に向かって、この(その８人の)中に友達は何人いるのか尋ねると、
８人の生徒はそれぞれ、
６人,６人,５人,４人,３人,２人,１人,１人 と答えた。
それを聞いた先生は、ちょっと考えてから「そんなことは絶対ありえない」と言った。
その理由を示せ。
ただし、ＡにとってＢが友達なら、ＢにとってもＡは必ず友達であるものとする。
【問題５】
各チームを各点とし、チーム間の試合の結果を勝ちチームの点から負けチームの点に矢印を書いて表すものとすると、
ｎ(≧２)チームによる総当たり戦の結果には、矢印に従って進んでもｎ個の点すべてを１度ずつ通る道筋が必ず存在する。
その理由を示せ。
ただし、どの試合にも引き分けはないものとする。
以下、追加問題です。
【問題６】
どの３点も同一直線上にない、ｎ個ずつの赤い点と青い点が同じ平面上にある。
このとき、どの２本も接しない両端点が赤と青のｎ本の線分が必ず引ける。
その理由を示せ。
【問題７】
２点間を結ぶ線を辺と呼ぶものとすると、同一平面上において、
ｎ(≧３)個の点に存在できる交差しない辺の最多は(３ｎー６)本である。
その理由を示せ。
ただし、辺は曲線でもかまわないが、どの２点においても多くても１本とする。
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