『中線、垂線で作る三角形』

東京都　横田　弥五郎 さんからの問題です。

【問題１】

三角形の各頂点から対辺に引いた３本の中線で三角形を作り、さらにその三角形の３本の中線で作った三角形は、もとの三角形と相似であることを示せ。
また、それぞれの三角形の面積の比はいくらか。

【問題２】

三角形の各頂点から対辺に引いた３本の垂線で三角形を作り、さらにその三角形の３本の垂線で作った三角形は、もとの三角形と相似であることを示せ。
また、もとの三角形の３辺をa、b、cとし、次の問に答えよ。

(１) もとの三角形と２度目に作った相似の三角形の各辺の比をa、b、cで表せ。
(２) もとの三角形の面積をSとし、２つの垂線三角形の面積を求めよ。
(３) ３本の垂線の長さがa、b、cの三角形の３辺、面積及び内接円の半径を求めよ。
(４) ３本の垂線が与えられた三角形を作図せよ。

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