『中線、垂線で作る三角形』

『中線、垂線で作る三角形』解答

◆東京都の高校生　もやしさんからの解答。

【問題１】

図１のように元の三角形を△ＡＢＣとし、辺ＡＢ，ＢＣ，ＣＡの中点をそれぞれＬ，Ｍ，Ｎとする。

また、Ａを通りＢＣに平行な直線とＬＭの延長との交点をＰとする。

△ＡＢＣで中点連結定理よりＡＢ//ＬＭ、すなわちＡＢ//ＰＬと、
ＡＰ//ＢＣ、すなわちＡＰ//ＢＬから、四角形ＡＢＬＰは平行四辺形なので、
ＡＰ＝ＢＬ

よって、ＢＬ＝ＣＬから、ＡＰ＝ＣＬ

また、ＡＰ//ＣＬなので、四角形ＡＬＣＰも平行四辺形
故に、ＡＬ＝ＰＣ　　…(１)

また、ＰＭ＝ＬＭ，ＬＭ＝１
２ＡＢ＝ＢＮから、ＰＭ＝ＢＮ

これとＰＭ//ＢＮより、四角形ＢＭＰＮも平行四辺形なので、
ＢＭ＝ＰＮ　　…(２)

(１)(２)より、△ＰＮＣは△ＡＢＣの三本の中線で作った三角形といえる。

また、図２のように３点Ｄ，Ｅ，Ｆを定めると、この３点はＮＣ，ＣＰ，ＰＮの中点である。
（詳しい証明は省略）

ＰＭ＝ＡＮ＝１
２ＡＢ，ＭＤ＝１
２ＬＭ＝１
４ＡＢより、

ＰＤ＝（１
２＋１
４）ＡＢ＝３
４ＡＢ

ＭＮ＝ＢＬ＝１
２ＢＣ，ＭＥ＝１
２ＣＬ＝１
４ＢＣより、

ＮＥ＝（１
２＋１
４）ＢＣ＝３
４ＢＣ

ＡＦ＝１
２ＡＭ＝１
４ＡＣより、

ＣＦ＝（１－１
４）ＣＡ＝３
４ＣＡ

以上より、
ＡＢ：ＰＤ＝ＢＣ：ＮＥ＝ＣＡ：ＣＦ＝１：３
４なので、
△ＰＮＣの三本の中線で作った三角形は△ＡＢＣと相似である。

故に、三角形の各頂点から対辺に引いた３本の中線で三角形を作り、さらにその三角形の３本の中線で作った三角形は、もとの三角形と相似である。

また、その相似比は１：３
４なので、面積比は

１ ² ：( ３
４ ) ² ＝１：９
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