『三角形の垂線、中線の長さの和』

【問題１－１】

△ABC内の任意の1点Oから、3辺BC、CA、ABにそれぞれ垂線をひき、それらの足をP、Q、Rとする。

OA+OB+OC≧2(OP+OQ+OR)となる事を証明せよ。

また上の等号が成り立つのはどんな場合か？

【問題１－２】

OA・OB・OC≧(OQ+OR)(OP+OR)(OP+OQ)となる事を証明せよ。

【問題２】

三角形の中線の長さの和は、

三角形の周長Pとその 3
4 倍である 3
4 Pの間にある事を証明せよ。

【出題者の問題１のヒント】

R、Qから辺BCへ下ろした垂線の足をP₁、P₂とし、
同様に、他の辺の上に、Q₁、Q₂とR₁、R₂をとる。

△PRP₁∽△OBRを用いて、P₁PをRP、OR、OBで表す。

このような式を、

OA+OB+OC≧ OA(P₁P+PP₂)
RQ + OB(Q₁Q+QQ₂)
PR + OC(R₁R+RR₂)
QR

へ代入して、OP、OQ、ORを含む項をそれぞれまとめます。

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