◆山梨県 Footmark さんからの解答。
【問題１ー１】
∠BOC,∠COA,∠AOBの２等分線と辺BC,辺CA,辺ABの交点をそれぞれX,Y,Zとすると、
明らかに OX≧OP , OY≧OQ , OZ≧OR なので、
OA+OB+OC≧2(OX+OY+OZ) を示すことができれば十分です。
便宜上、
OA＝a , OB＝b , OC＝c
OX＝x , OY＝y , OZ＝z
∠BOC＝2α , ∠COA＝2β , ∠AOB＝2γ
とします。
△OBC＝△OBX+△OXC より
ｂｃ(sin2α)＝ｂx(sinα)+cx(sinα)
sin2α＝2(sinα)(cosα) と b+c≧2√(bc) より
| x＝ | 2bc b+c |
cosα≦{√(bc)}cosα |
同様に、y≦{√(ca)}cosβ , Z≦{√(ab)}cosγ
また、α+β+γ＝π なので
cosα＝-cos(β+γ)＝sinβsinγ-cosβcosγ
これらを利用すると、
a+b+c-2(x+y+z)
≧a+b+c-2{√(bc)}cosα-2{√(ca)}cosβ -2{√(ab)}cosγ
＝{(√a)-(√b)cosγ-(√c)cosβ}2+{(√b)sinγ-(√c)sinβ}2
≧0
(証明終わり)
上の１番目の不等式の等号が成立するのは、明らかに a＝b＝c のときなので、
このとき２番目の不等式の等号が成立するのは、
cosγ+cosβ＝1 かつ sinγ＝sinβ のとき、
| 即ち α＝β＝γ＝ | π 3 |
のときです。 |
【PS】
これって、「エルデス・モーデルの定理」ですね。
【問題２】
便宜上、三角形の３頂点をA,B,C、３本の中線をAX,BY,CZ、３本の中線の交点(重心)をGとします。
三角形の２辺の長さの和は残りの１辺の長さより大きいので、
GY+GZ＞YZ , GZ+GX＞ZX , GX+GY＞XY
∴ 2(GX+GY+GZ)＞XY+YZ+ZX
ところで、
| GX+GY+GZ＝ | △ABCの３中線の長さの和 ３ |
| XY+YZ+ZX＝ | △ABCの周長 ２ |
よって、
| (三角形の３中線の長さの和)＞ | ３ ４ |
(三角形の周長) ・・・ (1)/td> |
また、三角形の２辺の長さの和は残りの１辺の長さより大きいので、
AX＜AZ+ZX＝AZ+AY ,
BY＜BX+XY＝BX+BZ ,
CZ＜CY+YZ＝CY+CX
∴ AX+BY+CZ＜(BX+CX)+(CY+AY)+(AZ+BZ)
ところで、
AX+BY+CZ＝(△ABCの３中線の長さの和)
(BX+CX)+(CY+AY)+(AZ+BZ)＝(△ABCの周長)
よって、
(三角形の３中線の長さの和)＜(三角形の周長) ・・・ (2)
(1)と(2)より、
| ３ ４ |
(三角形の周長)＜(三角形の３中線の長さの和)＜(三角形の周長) |
(証明終わり)