『Tower of Powers』

正の実数aに対して，数列(a_n)n≧0を次のように定義する：

a₀＝1, a_n＝a^a_n-1 (n≧1).

このとき，次の問いに答えよ。
ただし，eは自然対数の底を表す。
また，次の事実を用いてよい。

上に有界で単調増加である （または下に有界で単調減少である） 実数列は収束する。

ここで，実数列(x_n)n≧0に対して，

(xn)が上に（または下に）有界 ⇔ ある実数Cが存在して，すべてのn≧0に対して，xn≦C（またはxn≧C）
(xn)が単調増加（または減少） ⇔ すべてのn≧0に対して，xn+1≧xn（またはxn+1≦xn）

関数f(x)＝x^1/x (x＞0)の増減を調べよ。

【問題２】

a＞e^1/eのとき，数列(a_n)は収束しない（発散する）ことを示せ。

【問題３】

1≦a≦e^1/eのとき，

1. a^b＝bとなる実数1≦b≦eが唯一つ存在することを示せ。

2. 任意のn≧0に対して，a_n≦bとなることを示せ。

3. 任意のn≧0に対して，a_n+1≧a_nとなることをを示せ。

4. 数列(a_n)は収束することを示し，その極限値を求めよ。

【問題４】

0＜a＜1のとき，

1. 関数g(x)＝x^(x^1/e) (0＜x＜1)の増減を調べよ。

2. 任意のn≧0に対して，a_2n≧1/e, a_2n+1≦a^1/eとなることを示せ。

3. 任意のn≧0に対して，a_2n+2≦a_2n, a_2n+3≧a_2n+1となることをを示せ。

【問題５】

0＜a＜e^-eのとき，数列(a_n)は収束しない（振動する）ことを示せ。

【問題６】

e^-e≦a＜1のとき，

1. 関数u(x)＝x log x (0＜x＜1)の増減を調べよ。

2. 関数h(x)＝x^(a^-x) (0＜x＜1)の増減を調べよ。

3. a^a^c＝cとなる実数0＜c＜1が唯一つ存在することを示せ。

4. 数列(a_n)は収束することを示し，その極限値を求めよ。

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