対角線の秘密

 
 長方形の左上の頂点から右下の頂点に対角線を引きます。
長方形は横aわく、縦bわくからできているとします。
この時、対角線は何個のわくを通るでしょうか



<ソフトウェアの使い方について>

・まず Width (横の長さ)と Height(縦の長さ)を選択しよう。
・横と縦の長さは最大15まで選択できる。
 (出したい長さが出ない場合は↑↓キーを使ってください。)
・Startボタンをクリックすると対角線が引かれる。
・Calcボタンをクリックすると、対角線の通るわくの数が表示される。
・Retryボタンをクリックすると、再び縦横の長さを変更できる。


◆縦・横の長さを変えて、対角線が通るわくの数を予想してみよう。


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 ◆解答用紙はこちらです。 【寄せられた解答】


 以前に私の同僚だった方が、3年生の実力テストに関連した問題を出題しました。
一般の方は中学校の問題を久々に考えてみるというのも面白いのではないでしょうか。
ヒントにもなると思うので、ぜひ考えてみてください。

【問題】

 aとbの最大公約数が1の場合について考える。
長方形の対角線が通る正方形の枚数を記号<a,b>で表すことにする。

 
この長方形ではa=3,b=2だから
<3,2>=4となり、

 
この長方形では<1,2>=2となることが分かる。

 では、<7,4>を求めてみよう。
図1の長方形において、頂点Aから対角線をひき始めると、Aを出発したとたんに正方形あを通り、その後は縦線@に交わって正方形 いを通り、横線1に交わって正方形うを通る・・・というように、縦や横の線に交わるごとに新しい正方形を通る。

 
図1

 つまり、対角線ACが通る正方形の枚数は、これらの交点の数に初めの正方形あを1枚加えたものに等しいことがわかる。

 したがって、対角線ACは途中で縦線と6個の点で交わり、横線と3個の点で交わるから、

<7,4>=(1)     となる。

 同じように考えると、横にaわく、縦にbわく並べたとき、対角線ACは途中で縦線と、

(2)     個の点で交わり、横線と、

(3)     個の点で交わるから

<a,b>=(4)     となる。

・問題1

上の(1)〜(4)に当てはまる数または式を書きなさい。

・問題2

<5,9>を求めなさい。

・問題3

<a,b>=7となるa,bの組を全て求めなさい。

・問題4

a,bの最大公約数が1でないときはどうでしょうか。
(この問題はテストには出題されていません)


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