◆石川県 数学好き さんからの解答。
ａ＝ａ’ｋ
ｂ＝ｂ’ｋ
ｋはａとｂの最大公約数とする。
対角線の通過するマスの数をχとすると
χ＝ａ＋ｂ−ｋ
（例）
ａ＝１２、ｂ＝１５ならばｋ＝３
χ＝１２＋１５−３＝２４
ａ＝１１、ｂ＝１４ならばｋ＝１
χ＝１１＋１４−１＝２４
【コメント】
見事正解です。
証明のヒントとして問題を追加したので、ぜひご覧ください。
◆京都府 ポン Ｑさんからの解答。
縦をｂ 横をａ とすると通る個数はａ＋ｂ―1となる。
【コメント】
これは互いに素の場合ですね。
◆東京都 みやさんからの解答。
長方形を縦ｂマス、横ａマスに区切るとする。（ｂ≧ａ）
もし横方向に多く区切っているときは反転させればよい。
この長方形の左下の頂点が原点になり、第１象限にはまるようにｘｙ座標に置く。
このとき対角線はｙ＝(ｂ／ａ)χ （χ≦ａ） (1)
対角線が通過するマスの数は、縦方向にｂ、横方向にａで、それから通過する格子点の個数を引いた数である。
すなわち、(1)の整数解の個数を引いた数である。
1) ａとｂとが互いに素の場合
整数解は(ａ，ｂ)の一個だけだから通過するマスはａ＋ｂ−１
2)ａとｂが公約数を持つ場合
最大公約数をｄとする。
ａ＝Ａｄ，ｂ＝Ｂｄとおく。
ｙ＝(ｂ／ａ)χ＝（Ｂｄ／Ａｄ）χ＝（Ｂ／Ａ）χ （χ≦ａ）
上式の整数解の数はａ／Ａ＝ｄである。
よって通過するマスは ａ＋ｂ−ｄ
●注意
一見、座標を使っているので、正方形で区切った場合にしか当てはまらないように見えますが、大丈夫、一般性を崩していません。
なぜなら長方形のマスで区切った座標で考えればいいから。
直感的には伸び縮みする方眼紙にこの図を描いたところを想像してください。
【コメント】
ようやく完全に証明されて大変うれしいです。
ご指摘の通り、長方形のマスで区切った場合も全く同じですね。