『周期数列』

【問題】

ｎを自然数とする。
数列｛ｆ(ｎ)｝が任意のｎについて
ｆ(ｎ)＝ｆ(ｎ＋ａ)を満たすような自然数の定数ａが存在するとき，
数列｛ｆ(ｎ)｝を周期数列といい，ａの最小値を単位周期とよぶ。

以下，この周期数列｛ｆ(ｎ)｝について考える。

【問題１】

数列｛ｆ(ｎ)｝の単位周期をｃとするとき，ａは必ずｃで割り切れることを示せ。

【問題２】

数列｛ｆ(ｎ)｝のとりうる値が１，２の２つのみあり，かつ単位周期ｃが素数であるとき，
数列｛ｆ(ｎ)｝は何通り考えられるか。
ｃを用いて答えよ。

【問題３】

数列｛ｆ(ｎ)｝のとりうる値が１，２，・・・，ｍ（ｍは２以上の整数）のｍ個（とらない数があってもよい）であり，
かつ単位周期ｃがｐｑ（ｐ，ｑは異なる素数）で表されるとき，
数列｛ｆ(ｎ)｝は何通り考えられるか。
ｐ，ｑ，ｍを用いて答えよ。

【問題４】

数列｛ｆ(ｎ)｝，数列｛ｇ(ｎ)｝はそれぞれ単位周期がｐ，ｑ（ｐ，ｑは異なる素数）の周期数列である。
このとき，数列｛ｆ(ｎ)＋ｇ(ｎ)｝も周期数列であることを示せ。

【問題５】

数列｛ｆ(ｎ)＋ｇ(ｎ)｝の単位周期は必ずｐｑになるといえるか。
いえるならばそれを示し，いえないならば反例をあげよ。