◆京都府 sambaGREEN さんからの解答。
【問題１】
ｋを整数とするとき，
ｆ(n+ck)
＝ｆ(n+(k-1)c)
＝ｆ(n+(k-2)c)
＝・・・
＝ｆ(n+c)
＝ｆ(n)より
ｆ(n+ck)＝ｆ(n)となり，
単位周期ｃの倍数は数列｛ｆ(ｎ)｝の周期となる・・・(1)
いま，ａ＝ｃｋ＋ｊ（１≦ｊ＜ｃ）と仮定すると，(1)より
ｆ(n)＝ｆ(n+a)＝ｆ(n+ck+j)＝ｆ(n+j)となり，
ｊは｛ｆ(ｎ)｝の周期となる。
しかし，これはｃが単位周期であることに反する。
したがって，ａはｃで割り切れる。・・・(2)
【問題２】
すべてが１または２のときは単位周期が１になるので
２c−２
【問題３】
上記の考え方で，ｍpq−ｍ通り
単位周期ｐの場合のｍp−ｍ通りと，
単位周期ｑの場合のｍq−ｍ通りを除くと
ｍpq−ｍp−ｍq＋ｍ 通り
【問題４】
(1)よりｆ(n+pq)＋ｇ(n+pq)＝ｆ(n)＋ｇ(n)
よって，｛ｆ(n)＋ｇ(n)｝は周期pqの周期関数である
【問題５】
pqより小さい単位周期が存在するならば，(2)よりｐまたはｑまたは１
ｐが単位周期であると仮定すると
ｆ(n+p)＋ｇ(n+p)＝ｆ(n)＋ｇ(n)・・・(3)
ｆ(n+p)＝ｆ(n)であるから，ｇ(n+p)＝ｇ(n)となり，
ｐが数列｛ｇ(n)｝の周期になる。
しかし，ｐとｑは互いに素であるから矛盾。
ｑが単位周期とした場合も同様。
１が周期であると仮定すると，(1)より，やはり(3)式が成り立ち，矛盾。
よって，pqが単位周期である。
◆宮城県 アンパンマン さんからの解答。
【問題１】
1)a=cq+r; c＞r＞ 0と仮定すると
f(n+r)=f(n+r+cq)=f(n+a)=f(n)
つまりｒもひとつの周期です。
しかしｒ＜ｃ（単位周期）になり、矛盾です。
【問題２】
2c-2
【問題３】
mpq-mp-mq+m
【問題４】
f(n+pq)+g(n+pq)=f(n)+g(n) であることから
pq は周期です。
つまり｛f(n)+g(n)｝も周期数列です。
【問題５】
いえる。
If c ≠ pq then c=1, or p, or q.
Suppose that c=p,
then f(n)+g(n)=f(n+c)+g(n+c)=f(n)+g(n+p)
→ g(n+p)=g(n) 矛盾
ほかの場合(c=1 or q)も同じです。
よって c=pq です。