『精密なスターリングの公式』

【問題１】

N！
( N
e ) ^N
は、N→+∞ で、無限大に発散する事を示してください。

【問題２】

N！
N *( N
e ) ^N
は、N→+∞ で、0になる事を示してください。

【問題３】

N！
*( N
e ) ^N
は、N→+∞ で、定数に収束する事を示して下さい。

【問題４】

問題３で収束する定数が、√(2π) である事を示してください。

なお、次の式(ウォリスの公式)は、既知として使っても良いです。

lim
n→∞ (2ⁿ * n！)²
(2n)！ * = √π

【補足】

ウォリスの公式は、次の形の方が有名かもしれませんが、意味は同じです。

2
π = lim
n→∞ 1*3*3*5*5*7*…*(2n-1)*(2n+1)
2*2*4*4*6*6*…*(2n)*(2n)