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【問題】
シムソン線に関して，次の各命題を証明してください。
【問題１】
原点を中心とし，半径が1の円周O上の3点A，B，Cの座標を次のように定める。
A （cosα，sinα）
B （cosβ，sinβ）
C （cosγ，sinγ）
このとき，BCに直交する直線BC⊥，
CAに直交する直線CA⊥，
ABに直交する直線AB⊥の方程式を，それぞれ
BC⊥：(cosγ−cosβ)x＋(sinγ−sinβ)y＝p
CA⊥：(cosα−cosγ)x＋(sinα−sinγ)y＝q
AB⊥：(cosβ−cosα)x＋(sinβ−sinα)y＝r
とする。これが1点Pで交わるための定数p，q，rの条件は
p＋q＋r＝０ である。
【問題２】
ここでp，q，rを
p＝sin(α＋γ)−sin(α＋β)
q＝sin(β＋α)−sin(β＋γ)
r＝sin(γ＋β)−sin(γ＋α)
とおけば，点Pは円周O上に乗る。また，任意のtに対し
p＝sint(sin(α＋γ)−sin(α＋β))＋cost(cos(α＋γ)−cos(α＋β))
q＝sint(sin(β＋α)−sin(β＋γ))＋cost(cos(β＋α)−cos(β＋γ))
r＝sint(sin(γ＋β)−sin(γ＋α))＋cost(cos(γ＋β)−cos(γ＋α))
とおくとき，点Pの座標は
(cos(α＋β＋γ＋π−t)，sin(α＋β＋γ＋π−t))
となる。
【問題３】
与えられたθに対し，上記のtを
t＝α＋β＋γ＋π−θのように定める。
このとき，BCとBC⊥の交点A1，
CAとCA⊥の交点B1，
ABとAB⊥の交点C1の座標はそれぞれ
| A1 | ( | １ ２ |
(cosβ＋cosγ−cos(β＋γ−θ)＋cosθ), | １ ２ |
(sinβ＋sinγ−sin(β＋γ−θ)＋sinθ)) |
| B1 | ( | １ ２ |
(cosγ＋cosα−cos(γ＋α−θ)＋cosθ), | １ ２ |
(sinγ＋sinα−sin(γ＋α−θ)＋sinθ)) |
| C1 | ( | １ ２ |
(cosα＋cosβ−cos(α＋β−θ)＋cosθ), | １ ２ |
(sinα＋sinβ−sin(α＋β−θ)＋sinθ)) |
となる。
【問題４】
方程式
| ｌ(θ) ：xsinφ−ycosφ＝ | １ ２ |
(sin(φ−α)＋sin(φ−β)＋sin(φ−γ)＋sin(φ−θ)) |
すなわち ｌ(θ)は△ABCの点Pに関するシムソン線である。
| ただしφ＝ | α＋β＋γ−θ ２ |
である。 |
【問題５】
3本のシムソン線 ｌ(θ1) ，ｌ(θ2) ， ｌ(θ3) が1点で交わる条件は，nを整数として
θ1＋θ2＋θ3＝α＋β＋γ＋2nπである。
【問題６】
θ1 ，θ2 ，θ3の間に，nを整数として
θ1＋θ2＋θ3＝α＋β＋γ＋(2n＋1)π
の関係が成り立っているとき，
3本のシムソン線 ｌ(θ1) ，ｌ(θ2) ， ｌ(θ3) で作られる三角形が△ABCと合同であるための条件は，
| θ1−α＝θ2−β＝θ3−γ＝ | (２n＋１)π ３ |
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