『四面体の体積の範囲』

【問題】

どの面も面積が１の鋭角三角形になる四面体がある。
この四面体の体積の範囲を求めよ。

以下、誘導問題です。

【問題１】

どの面の面積も等しい四面体は、どの面の三角形も合同であることを示す。

【問題１−１】

四面体の隣り合う二つの面がなす角をα,β,γ,δ,ε,ζとする。
このとき、それぞれの余弦(cos)が満たす関係式を求めよ。
また、その関係式からα,β,γ,δ,ε,ζ自身の関係も求めよ。

【ヒント】

まず、ある面を底面として四面体を置く。
このとき、他の三面から底面に正射影した部分の面積を考える。
そうすれば、底面一つにつき関係式が一つ得られる。
底面は四つ考えることができるので関係式は合計４つ得られる。

【問題１−２】

四面体の「高さ」と三角形の「高さ」に注目し、四つの面が全て合同であることを示せ。

【問題２】

四つの面が合同であり、鋭角な三角形である四面体は直方体を切り出すことで作ることができる。
８点(±a,±b,±c)によって構成される直方体を考え、この8点から
(a,b,c),(a,-b,-c),(-a,b,-c),(-a,-b,c)
を選べば、四面体が構成される。

a,b,cを適切に選ぶことで、条件を満たすどのような四面体も作ることができることを示せ。

【問題３】

各面の面積が1の四面体の体積の範囲を求めよ。

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