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◆宮城県 甘泉法師 さんからの解答。
題意の四面体の頂点ＡＢＣＤをxyz座標であらわす。
| A(0，0， | 1 a |
)，B(a cosθ， a sinθ， | k a |
) |
| C(a cosθ，−a sinθ，− | k a |
)， | D(0，0，− | 1 a |
) |
明らかに面積△ＡＢＤ＝面積△ＡＣＤ＝１。
| ベクトルＡＢ =(a cosθ， a sinθ， | k-1 a |
) |
| ベクトルＡＣ =(a cosθ， −a sinθ， | -k-1 a |
) |
面積△ＡＢＣ＝1 なので外積 、
ベクトルＡＢ Ｘ ベクトルＡＣ ＝ −2（ sinθ, k cosθ, a2 sinθcosθ)
の大きさは２。
| これから | 1 - k2 a4 |
= sin2 θ |
よって、ＡＤ＝ＢＣ、 △ＢＡＣ≡△ＣＤＢ≡△ＡＢＤ≡△ＤＣＡ。
四面体の体積をＶとして
| Ｖ＝ | 1 6 |
* ｜ベクトルＡＤ・（ ベクトルＡＢ Ｘ ベクトルＡＣ ）｜＝ | a 3 |
* sin 2θ |
kを変えて得られるVの最大値Vmax（a）は、
●a ≦ 21/4 ：
| Vmax = | a 3 |
| Vmax(21/4) = | 1.1892 3 | =0.3964 |
a ＞ 21/4 ：
| Vmax = | a 3 | * sin 2( arcsin | 1 a2 | ) |
| ∂Vmax ∂a | = | 1 3 |
* sin 2 | ( arcsin | 1 a2 | ) | - 4a-2 /3 | * cos 2 | ( arcsin | 1 a2 | )* | 1 √(1- 1/a2) |
微分が 0になるのは
| tan 2( arcsin | 1 a2 |
)＝ | 4a-2 √(1-1/a2) |
から |
a ＝ 31/4＝1.3161。
| Vmax（31/4）＝ | 23/2 37/4 |
＝ | 2.82842 6.83852 | ＝0.41361 |
| 答え 0 ＜ V ≦ | 23/2 37/4 |
【自分の解答へのコメント】
体積の最大値は、正四面体の場合と考えられる。
題意の正四面体の体積を求める。
| １辺ａのピラミッド型の体積： | ６ |
*a3 |
| １辺ａのピラミッド型2個を組みあわせた正8面体の体積： | ３ |
*a3 |
一辺2aの正四面体は、一辺aの正四面体４つと、１辺ａの正8面体１つで構成されるので
| １辺2ａの正四面体の体積 ： | ２ ３ |
*a3 |
a2 = 1 とおくとよって題意の正四面体の体積は 23/2 * 3-7/4