『シドニー数列』

【問題】

2桁の自然数（1桁の整数も十の位が0の2桁の自然数とみなす）について以下のような操作を行う。
（具体的に71という数字で操作の仕方を示す）

「操作」
71について，7+1＝8を10で割った余り8を71の右に添える→718

718について，1+8＝9を10で割った余り9を718の右に添える→7189

7189について，8+9＝17を10で割った余り7を7189の右に添える→71897

このように下2桁の和を10で割った余りをもとの数の右に添えていくものとし，最初の2桁の数を「開始数」と呼ぶことにする。

【問題１】

いかなる開始数から操作を始めても，有限回の操作で下2桁に開始数が現れることを示せ。
（開始数が71ならば操作を行っていくと71897639213471となりあとは繰り返し）

【問題２】

問題１よりこの操作によって循環節を持った周期数列が作られることがわかる。
循環節の長さをｐ個（開始数が71ならｐ＝12）としてｐのとりうる値はＮ通りある。
Ｎの値を求めよ。

【問題３】

問題２より開始数によって操作で作られる数列はＮ種類に分類される。
このＮ種類の数列はシドニー数列といい，1968年にSidney Larisonという当時15歳の女性が発見した。
このシドニー数列のうち循環節の中に0が2つ以上含まれているものは，0が等間隔で現れることを示せ。
（数列を具体的に全て書き出して証明，というのはなしです）

【問題４】

循環節の長さが偶数であるシドニー数列の循環節を2ｍ（ｍは自然数）とするとき，
第ｎ項と第ｎ+ｍ項の和は10で割り切れることを示せ。
（数列を具体的に全て書き出して証明，というのはなしです）

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