◆宮城県 アンパンマン さんからの解答。
【問題１、２】
abは最初の2桁の数字とします。
0≦a,b≦9 です。
数列{xi}は ≡
a,b, a+b, a+2b,2a+3b,
3a+5b,5a+8b,8a+3b, 3a+b, a+4b,
4a+5b,5a+9b,9a+4b,4a+3b,3a+7b,
7a, 7b,7a+7b,7a+4b, 4a+b,
a+5b,5a+6b, 6a+b, a+7b,7a+8b,
8a+5b,5a+3b,3a+8b, 8a+b, a+9b,
9a, 9b,9a+9b,9a+8b,8a+7b,
7a+5b,5a+2b,2a+7b,7a+9b,9a+6b,
6a+5b, 5a+b, a+6b,6a+7b,7a+3b,
3a, 3b,3a+3b,3a+6b,6a+9b,
9a+5b,5a+4b,4a+9b,9a+3b,3a+2b,
2a+5b,5a+7b,7a+2b,2a+9b, 9a+b,
a, b, ... (mod10)
つまり60の周期です。
循環節があるとすれば、
p＝1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60。
p＝1はa=b=0になるので無視します。
p=2:a+b≡a, a+2b≡b(mod10) なし
p=3:a+2b≡a,2a+3b≡b(mod10)
(a,b)=(5,5),(0,5),(5,0)
p=4: 2a+3b≡a,3a+5b≡b(mod10)
(a,b)=(4,2),(8,4),(2,6),(6,8)
p=5: 3a+5b≡a,5a+8b≡b(mod10) なし
p=6: 5a+8b≡a,8a+3b≡b(mod10) なし
p=10: 4a+5b≡a,5a+9b≡b(mod10) なし
p=12: 9a+4b≡a,4a+3b≡b(mod10)
(a,b)=(1,3),(1,8),(2,1),(3,4),
(3,9),(4,7),(6,3),(7,1),
(7,6),(8,9),(9,2),(9,7)
p=15: 7a≡a, 7b≡b(mod10) なし
p=20: a+5b≡a,5a+6b≡b(mod10)
(a,b)=(0,2),(0,4),(0,6),(0,8),
(2,0),(2,2),(2,4),(2,8),
(4,0),(4,4),(4,6),(4,8),
(6,0),(6,2),(6,4),(6,6),
(8,0),(8,2),(8,6),(8,8)
p=30: 9a≡a, 9b≡b(mod10) なし
p=3: N=3
p=4: N=4
p=12: N=12
p=20: N=20
p=60: N=99-3-4-12-20=60
そのほかのpは、N＝0。
【問題３】
a≠0とします。
xi≡
0, a, a,2a,3a,5a,8a,3a, a,4a,5a,9a,4a,3a,7a,
0,7a,7a,4a, a,5a,6a, a,7a,8a,5a,3a,8a, a,9a,
0,9a,9a,8a,7a,5a,2a,7a,9a,6a,5a, a,6a,7a,3a,
0,3a,3a,6a,9a,5a,4a,9a,3a,2a,5a,7a,2a,9a, a,
0, a,.... (mod10)
aが偶数の場合0が5の間隔で現れる。
a＝5の場合、周期＝3
そのほかのaは、0が20の間隔で現れる。
【問題４】
x1+x1+m≡0(mod10)と
x2+x2+m≡0(mod10)を証明できればあとは帰納法より
xn+xn+m
≡fn-2[x1+xm+1]+fn-1[x2+xm+2]
≡0 (mod10)
がすべてのnに対して成り立つ。
p＝4の場合：
x5-x1≡a+3b≡0,
x6-x2≡3a+4b≡0(mod10)より
x1+x3≡2a+b≡(3a+4b)-(a+3b)≡0(mod10)、
x2+x4≡a+3b≡0 (mod10)
p=12の場合：
x13-x1≡8a+4b≡0(mod10),
x14-x2≡4a+2b≡0(mod10) より、
x1+x7≡6a+8b≡-4a-2b≡0 (mod10)、
x2+x8≡8a+4b≡0 (mod10)
p=20の場合：
x21-x1≡5b≡0(mod10),
x22-x2≡5a+5b≡0(mod10) より、
x1+x11≡5a+5b≡0 (mod10)、
x2+x12≡5a+10b≡0 (mod10)
p=60の場合：
x1+x31≡x2+x32≡0 (mod10)
以上よりすべてのp(4,12,60)とnについて成り立つ。