『整数問題一発勝負！！ Part６』

岡山県　ＡＤＡさんからの問題です。

【問題８】（New!!）

全ての３以上の整数ｎに対し、一辺の長さがｎで、残りの２辺の長さが整数となる、直角三角形が存在することを示せ。

神奈川県　テトランさんからの問題です。

【問題１－１】

2001^2ⁿ－1の素因数分解に現れる素因数2の個数を求めよ。
ただしnは非負整数とする。

(青木注：ブラウザによってはきちんと見えないかもしれません。
2001^（2^n）のことです。)

【問題１－２】

2001ⁿ－1の素因数分解に現れる素因数2の個数を求めよ。
ただしnは自然数とする。

【問題３】

a,bを互いに素な自然数とする。

f(ak)＝(akをbで割った余り) (kは自然数)とするとき、

min f(ak)
k (k＝1,2,3,…,b-1)　を求めて下さい。

【問題４】

自然数n，pに対し、
S(n，p)＝1^p＋2^p＋…＋n^pとおく。

「任意の自然数nに対して、S(n，p)は平方数になる」が成り立つようなpを、全て求めよ。

新潟県　加藤さんからの問題です。

【問題２】

3^3ⁿ+1 は任意の自然数ｎに対して，28の倍数になると言えるでしょうか。

(青木注：ブラウザによってはきちんと見えないかもしれません。
３＾(3＾n)＋１のことです。)

大阪府　瀬戸際のトットちゃんさんからの問題です。

【問題５】

ｎ桁の平方数A（Aは４以上）の最小値が、奇数の２乗であるような場合は存在するでしょうか。
あるならばその例を、なければそのことを示してください。

北海道　あきさんからの問題です。

【問題６】

(100000000000000000！)^{10000000000000000}を計算すると１桁目からずっと続く０の次の数字は何か？

熊本県　遊び人さんからの問題です。

【問題７】（不定方程式（冪の和））

2^x ＋ 3^y = 5^z 　を満たすような
整数x，y，z を全て求めよ。