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『果物の分配』のように、自然数をいくつか(≧１)の自然数の和で表すことを一般に「自然数の分割」と呼びます。
この場合、加える順序が違っても同じ分割と見なします。
１例で示すと、自然数７の分割の仕方は以下の１５通りあります。
7 , 6+1 , 5+2 , 5+1+1 , 4+3 , 4+2+1 ,
4+1+1+1 , 3+3+1 , 3+2+2 , 3+2+1+1 ,
3+1+1+1+1 , 2+2+2+1 , 2+2+1+1+1 ,
2+1+1+1+1+1 , 1+1+1+1+1+1+1
そこで、任意の自然数ｎの分割において、以下が成立することを示してください。
ただし、ｋはｎ以下の任意の自然数とします。
【問題１】
異数だけの分割の仕方の数と、奇数だけの分割の仕方の数は等しい。
自然数７の例を示すと、
異数だけの分割：
7 , 6+1 , 5+2 , 4+3 , 4+2+1
奇数だけの分割：
7 , 5+1+1 , 3+3+1 , 3+1+1+1+1 , 1+1+1+1+1+1+1
【問題２】
最大数がｋである分割の仕方の数と、ｋ個に分ける分割の仕方の数は等しい。
自然数７、ｋ＝３の例を示すと、
最大数が３の分割：
3+3+1 , 3+2+2 , 3+2+1+1 , 3+1+1+1+1
３個に分ける分割：
5+1+1 , 4+2+1 , 3+3+1 , 3+2+2
【問題３】
各分割に現れる自然数ｋの個数の合計と、各分割にｋ個以上現れる相異なる自然数の個数の合計は等しい。
自然数７、ｋ＝２の例を示すと、
| 自然数７の分割の仕方 | ２の現れ る個数 | ２個以上現れる 相異なる自然 数 の個数 |
| ７ | ０ | ０ |
| ６＋１ | ０ | ０ |
| ５＋２ | １ | ０ |
| ５＋１＋１ | ０ | １ |
| ４＋３ | ０ | ０ |
| ４＋２＋１ | １ | ０ |
| ４＋１＋１＋１ | ０ | １ |
| ３＋３＋１ | ０ | １ |
| ３＋２＋２ | ２ | １ |
| ３＋２＋１＋１ | １ | １ |
| ３＋１＋１＋１＋１ | ０ | １ |
| ２＋２＋２＋１ | ３ | １ |
| ２＋２＋１＋１＋１ | ２ | ２ |
| ２＋１＋１＋１＋１＋１ | １ | １ |
| １＋１＋１＋１＋１＋１＋１ | ０ | １ |
| 合計 | １１ | １１ |
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