『果物の分配の派生問題』解答

◆大阪府　macsyma2e さんからの解答。

【問題１】

n=

∞ Σ j=1

xj　and

i＜j ⇒ x_i＜x_j for all i,j　and

x_j∈{1,2,3,...} for all j

なる( x_j )の各項x_jを奇数×2の非負整数冪と表わし、奇数部分毎に括ると

n=1×

∞ Σ j=0

a(1,j) 2j +3×

∞ Σ j=0

a(2,j) 2j +5×

∞ Σ j=0

a(3,j) 2j + ...

　and　a(i,j)∈{0,1} for all i,j

を得るが、これは

n=

∞ Σ j=1

(2j-1) yj　and

y_j∈{0,1,2,...} for all j

なる( y_j )の各項y_jを2進展開したもので、

対応 ( x_j ) ⇔ ( a(i,j) ) ⇔ ( y_j ) は一対一．

【問題２】

n=

k Σ j=1

xj　and

i＜j ⇒ x_i≦x_j for all i,j　and

x_j∈{1,2,3,...} for all j

なる( x_j )に対し

n=

k Σ j=1

(k-j+1) yj　and

y₁∈{1,2,3,...}　and

1＜j ⇒ y_j∈{0,1,2,...} for all j

なる( y_j )が

y₁=x₁＞0　and

y₂=x₂-x₁≧0　and

...

y_k=x_k-x_k-1≧0

即ち

x₁=y₁＞0　and

x₂=y₁+y₂≧x₁　and

...

x_k=y₁+...+y_k≧x_k-1

により一対一に対応する．

【問題３】

分割を任意に1個固定すると、

その分割に現れるkの個数の合計

=

∞ Σ j=0

xj×

∞ Σ j=0

x2j×

∞ Σ j=0

x3j×...

∞ Σ j=0

x(k-1)j×

∞ Σ j=0

j xkj×

∞ Σ j=0

x(k+1)j×... のxnの係数

であり、

その分割にk個以上現れる相異なる自然数の個数の合計

=

∞ Σ j=k

xj×

∞ Σ j=0

x2j×

∞ Σ j=0

x3j×...+

∞ Σ j=0

xj×

∞ Σ j=k

x2j×

∞ Σ j=0

x3j×... +

∞ Σ j=0

xj×

∞ Σ j=0

x2j×

∞ Σ j=k

x3j )×...+ ... のxnの係数

であるが、

∞ Σ j=0

j xkj

=

xk (1-xk)2

=

∞ Σ j=1 xjk 1-xk

故何れも

xk (1-x)(1-x2)(1-x3)...(1-xk-1)(1-xk)2(1-xk+1)...

のxⁿの係数である。

【出題者のコメント】

解答ありがとうございます。
すべて正解です。
考えていた証明に比べ、どの証明も極めて簡潔に的を射ています。

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