『果物の分配』

　今回のテーマは、猿の群れで果物を分ける方法が何通りあるかという問題です。
この問題が『リーグ戦Part2』を解くヒントになります。

今、果物が何個かあり、その個数と同じ数の猿がいるとします。 猿の間には序列があり、必ずランクが上の猿から果物を取ります。 また、前の猿が取った個数よりも多くの果物を取ることはできません。 もちろん、途中で果物がなくなってしまうこともあるとします。 例えば果物が２個（猿２匹）の場合は ２ １＋１ の２通りの場合があります。 果物が３個（猿３匹）の場合は ３ ２＋１ １＋１＋１ の３通りの場合があります。 【問題１】 　果物が４個（猿４匹）の場合は、分け方は何通りあるでしょうか。 【問題２】 　果物が５個（猿５匹）の場合は、分け方は何通りあるでしょうか。 果物がｎ個（猿ｎ匹）の場合の分け方の総数をＳ（ｎ）、 ｎ個の果物をｋ匹の猿に分けるときの分け方の総数をＭ（ｎ，ｋ）とします。 Ｓ（ｎ）＝ n Σ k=1 Ｍ（ｎ，ｋ）は明らか。 したがってＭ（ｎ，ｋ）が求められれば、Ｓ（ｎ）も求められることになります。 それではＭ（ｎ，ｋ）の性質について調べてみましょう。 【問題３】 Ｍ（ｎ，ｎ），Ｍ（ｎ，ｎ−１），Ｍ（ｎ，１）を求めてください。 【問題４】 Ｍ（ｎ，２）をｎの式で表してください。 【問題５】 ｋ＞ ｎ ２ のとき Ｍ（ｎ，ｋ）＝Ｍ（ｎ−１，ｋ−１） ｋ≦ ｎ ２ のとき Ｍ（ｎ，ｋ）＝Ｍ（ｎ−１，ｋ−１）＋Ｍ（ｎ−ｋ，ｋ）となることを示してください。 【問題６】 ｋ≧ ｎ ２ のとき Ｍ（ｎ，ｋ）＝Ｓ（ｎ−ｋ）となることを示してください。 この式で、ｎを２ｎ，ｋをｎとすると、 Ｓ（ｎ）＝Ｍ（２ｎ，ｎ）が成り立ちます。 【問題７】 　以上の関係を用いて、果物が６個（猿６匹）の場合、分け方は何通りあるか求めてください。 つまりＳ（６）ですね。 【問題８】 　以上の関係を用いて、果物が７個（猿７匹）の場合、分け方は何通りあるか求めてください。

Ｐ．Ｓ

この問題は「自然数ｎを自然数の和に分割する方法は何通りあるか。」という問題と同じですね。

　参考文献：数学ランド・おもしろ探検
　寺田文行監修／教材探検の会編（森北出版）

　解答用紙はこちらです。　【寄せられた解答】

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