『図形の論証問題』

【問題１】

平面上に5個の円(半径1)があり、どの円も他の二つの円と接している。
また、これらの中心をA,B,C,D,Eとする。
(五角形ABCDEの内角は全て異なる。)

（?@）ここで、次のような五角形がただひとつ描けることを示してください。

・それぞれの辺がそれぞれ異なる円に1点で接している。
・五角形ABCDEと相似である。

（?A）五角形ABCDEの面積をS,（?@）で作った五角形の面積をTとします。
これらの面積比 S/T の取りうる範囲を求めてください。

【問題２】

平面上に2定点A,Bがあり、その距離は１です。
この平面上に、PQ=1,AP+PQ+QB=2となるような点P,Qを取ります。
線分PQの通りうる「領域の」面積はいくらでしょう。
（できる方は、図示してください。）

【問題３】

各面が鋭角三角形からなる四面体ABCDにおいて、辺ABとCDは垂直でないとする。
このとき辺ABを含む平面αに点C，点Dからおろした垂線の足をそれぞれC'，D'とする。
4点A,B,C',D'が全て相異なり、しかも同一円周上にあるようにαがとれることを示せ。
また、このようなαがいくつ取れるかを吟味せよ。

【問題４】

・立方体Ｋと球面Ｓがあり、これらは同体積である。
(1)Ｓの内部にＫの頂点は最大何個含めるか？
(2)ＳはＫの辺と最大何本交わることが出来るか？

・正二十面体Ｋと球面Ｓがあり、これらは同体積である。
(1)Ｓの内部にＫの頂点は最大何個含めるか？
(2)ＳはＫの辺と最大何本交わることが出来るか？

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