『素数に関する問題３題』

【問題１】

二桁以上の素数pについてその数字の順序を並べ替えるとそれも素数qになるとき、qをpの並べ替え素数と呼ぶことにする。
たとえば１０７の並べ替え素数は１７、７１、７０１である。

１０００以下の素数について最も多くの並べ替え素数を持つものを求めよ。
また、１００００以下についてはどうか。

【問題２】

２の差をもって並んでいる３つの連続する素数を三つ子素数という。
これは（３、５、７）の一通りしか存在しないことを示せ。

【問題３】

素数pにpと互いに素な自然数qを加えて、それが素数なら再びqを加える。
この操作を続けて、項の全てが素数であるような等差数列を作ることを考える。

このとき、

p,p＋q、p＋２q、・・・・、p＋（pー１）q、p＋pq＝p（１＋q)＝合成数であるから最長でp個の項からなる等差数列を作ることができると考えられる。

実際、３、５、７や５、１７、２９、４１、５３が可能である。

ではp=７のとき、７個の項全てが素数であるような等差数列を作ることは可能だろうか。
可能ならばその一例を示し、不可能ならばそのことを証明せよ。