◆大阪府 らぶりぃナナちゃん さんからの解答。
【問題２】
３数をa,a+2,a+4とすると、部屋割り論法より１つは3で割り切れる。
つまり、a,a+2,a+4が３を含む。
-1,1,3は-1が素数でない。
1,3,5は1が素数でない。
3,5,7は素数。
よって、3,5,7のみ。
【問題３】
パソコンを使って求めました。
q=150の7,157,307,457,607,757,907が一例です。
その他q=2760,3450,9150も満たします。
◆東京都の中学校２年生 青のトランプ さんからの解答。
【問題２】
２の差をもって並んでいる３つの連続する素数をn,n+2,n+4とする。
（nは２以上の自然数）
◆東京都 T.Kobayashi さんからの解答。
【問題１】
17, 79, 149, 179, 379. (それぞれ4つ)
1237, 1279. (それぞれ11個)
【問題２】
(1, 3, 5), (2, 4, 6) は素数列ではない。
n≧4 とすると、mod. 3 で二つずつ互いに不合同だから、
n, n+2, n+4 の何れかは 3 の倍数だけれども、それが 4 以上だから必ず合成数になる。
【問題３】
7, 157, 307, 457, 607, 757, 907.
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題１】
１０００以下
10個
137 173 317
１００００以下
30個
1973 3719 3917 7193 9137 9173 9371
【問題２】
3の剰余で分類、nは自然数。
1) 3n,3n+2,3n+4
n=1 3,5,7
n≧2、3nは合成数。
2) 3n+1,3n+3,3n+5
3n+3=3(n+1)、合成数。
3) 3n+2,3n+4,3n+6
3n+6=3(n+2)、 合成数。
したがって、3,5,7 のみ。
【問題３】
NO. 1 Q= 150 7 157 307 457 607 757 907 NO. 2 Q= 2760 7 2767 5527 8287 11047 13807 16567 NO. 3 Q= 3450 7 3457 6907 10357 13807 17257 20707 NO. 4 Q= 9150 7 9157 18307 27457 36607 45757 54907 NO. 5 Q= 14190 7 14197 28387 42577 56767 70957 85147 NO. 6 Q= 20040 7 20047 40087 60127 80167 100207 120247 NO. 7 Q= 21240 7 21247 42487 63727 84967 106207 127447 NO. 8 Q= 63600 7 63607 127207 190807 254407 318007 381607 NO. 9 Q= 76710 7 76717 153427 230137 306847 383557 460267
◆千葉県 J. Ono さんからの解答。
【問題１】
まず、異なる3つの数の並び順列は
3!＝6（通り）
i) 6通りとも素数の可能性がある場合
このうち、6通りとも素数となる可能性のあるのは、
{1,3,7,9}のうち、3つの数で3桁の数を作ったときである。
このなかで、6通りとも素数となる組み合わせは存在せず、
{1,7,9}と{3,7,9}の組が4通りと一番多い。
次に素数が高々4通りとなる組み合わせを考えると、
5を含む3つの奇数からなる3桁の数の場合、または
偶数を1つ、奇数2つを含む3桁の数の場合（0の場合は2桁も含む）がある。
ii) 5を含む3つの奇数から3桁の数の場合
{1,3,5}、{1,5,7}、{1,5,9}、{3,5,7}、{3,5,9}、{5,7,9}・・・(1)
が高々4通りとなる。
このうち1の位に5がくる場合を除く4通りが素数となる可能性がある。
しかしながら、
153、517、159、357、539、579
が素数ではないので、(1)の組で素数が4通りになるものは存在しない。
iii) 偶数を1つ、奇数を2つ含む3桁の数の場合
iii-1) 偶数が0の場合
{0,1,3}、{0,1,7}、{0,1,9}、{0,3,7}、{0,3,9}、{0,7,9}・・・(2)
が高々4通りとなる。
このうち、301、901、703、39は素数でないため、(2)のなかで
{0,1,7}、{0,7,9}のみ条件を満たす。
iii-2) 偶数が2の場合
{1,2,7}、{1,2,9}、{2,3,7}、{2,3,9}、{2,7,9}・・・(3)
が高々4通りとなる。
このうち、123、217、921、327、329、279は素数でないため、
(3)のなかで4通りの条件を満たすものは存在しない。
iii-3) 偶数が4の場合
{1,3,4}、{1,4,7}、{1,4,9}、{3,4,7}、{3,4,9}、{4,7,9}・・・(4)
が高々4通りとなる。
このうち、341、147、437、493、497は素数でないため、
(4)のなかで{1,4,9}のみ条件を満たす。
iii-4) 偶数が6の場合
{1,3,6}、{1,6,7}、{1,6,9}、{3,6,7}、{6,7,9}・・・(5)
が高々4通りとなる。
このうち、361、671、169、637、679は素数でないため、
(5)のなかで4通りの条件を満たすものは存在しない。
iii-5) 偶数が8の場合
{1,3,8}、{1,7,8}、{1,8,9}、{3,7,8}、{3,8,9}・・・(6)
が高々4通りとなる。
このうち、381、871、189、783、893は素数でないため、
(6)のなかで4通りの条件を満たすものは存在しない。
以上i)〜iii-5）より
{0,1,7}、17、71、107、701
{0,7,9}、79、97、709、907
{1,4,9}、149、419、491、941
{1,7,9}、179、197、719、971
{3,7,9}、379、397、739、937
の組み合わせで4通りずつ存在する。
【感想 問題1について】
1000未満の素数については、闇雲に検討すると495個の奇数（11以上）を検討することになるのが、実際に52個の数字を検討するのみで十分となるような解答ができた。
しかし、4桁（10000未満）の場合、効率的な解答方法が見つからなかった。
3桁の場合の考え方を応用した場合、少なくとも294個の数について検討する必要がある。
より、効率的な解答方法はあるのか？
素数定理のπ(x)〜n/log nより（n=10000程度で用いるのは誤差が大きいが）1085程度と出ているので、294個の数（＜1085）の検討は、比較的効率的かもしれない。
【問題２】
三つ子素数が{3,5,7}以外にも存在すると仮定する。
{3,5,7}以外のある三つ子素数をそれぞれl,m,nとする。
全ての自然数は3を法として合同なものは0,1,2のみであり、
素数は2以外すべて奇数、かつ3の倍数にならないことから
l=6k+1・・・(1) または l=6k-1・・・(2)
（ただし、k∈N、k＞1）とおける。
(1)のとき、三つ子の素数の定義から
m=6k+3=3(2k+1)
n=6k+5
とおける
(2)のとき、同様に
m=6k+1
n=6k+3=3(2k+1)
とおける
これにより、(1)、(2)ともにどのようなk（∈N）の値であっても、
三つ子素数の1つに必ず3の倍数が存在し、素数であることに矛盾する。
よって、{3,5,7}以外に三つ子の素数は存在しない。
【感想 問題1について】
1000未満の素数については、闇雲に検討すると495個の奇数（11以上）を検討することになるのが、実際に52個の数字を検討するのみで十分となるような解答ができた。
しかし、4桁（10000未満）の場合、効率的な解答方法が見つからなかった。
3桁の場合の考え方を応用した場合、少なくとも294個の数について検討する必要がある。
より、効率的な解答方法はあるのか？
素数定理のπ(x)〜n/log nより（n=10000程度で用いるのは誤差が大きいが）
1085程度と出ているので、294個の数（＜1085）の検討は、比較的効率的かもしれない。