『Projection Law』


【問題】

n次元上の正(n+1)面体の各k次元面要素を(m+1)次元面に投影して、
(m+1)次元面(つまりm次元空間)に投影された部分の(k+1)次元面
(つまりk次元空間)の面積2の和を
正(n+1)面体の(k+1)次元面の面積2で割ると定数になります。
(n>m≧k≧0)

その定数をr(n,m,k)で表します。

要するに、正(n+1)面体のi番目の(k+1)次元面要素をP(k,i)とし、
P(k,i)のm次元面上の投影図の面積をQ(k,i)とすると

n+1Ck+1
Σ
i=1

Q(k,i)2=r(n,m,k)(Sk)2

Skは正(k+1)面体の体積と定義し、

 

ここで、aは正(n+1)面体の2次元面要素(つまり線)の長さとします。

ちなみに、n+1Ck+1は正(n+1)面体の(k+1)次元面要素の数です
(『n-D parallel planes』問題のおまけのところを参考してください)。

では、次のことを証明してください。

ア) r(n,k,k)=n+1
k+1

イ) r(n,m,k)=mCk r(n,k,k)=mCkn+1
k+1

例えば、図1の場合:

 

 PQ2+QR2+RP2
=r(2,1,1)AB2
=3/2 (S1)2
=3/2 a2

図2の場合:

 

 △PQR2+△PRS2+△QRS2+△PQS2
=r(3,2,2) (△ABC)2
=4/3 (S2)2
=1/4 a4

 XY2+YZ2+ZX2+XW2+YW2+ZW2
=r(3,1,1)AB2
=2 (S1)2
=2a2

 PQ2+QR2+RQ2+PS2+QS2+RS2
=r(3,2,1)AB2
2C1 2(S1)2
=4a2

必要ならば次のことを使ってください。

n次元上の正(n+1)面体の一つの頂点P0,P1,...,Pn

 

どの2点も1の距離で離れています。


 解答用紙はこちらです。


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