『n×√2の小数部分』

【問題】

n×の小数部分を考えます。

1×の小数部分は0.4142……
2×の小数部分は0.8284……
3×の小数部分は0.2426……
4×の小数部分は0.6568……
5×の小数部分は0.0710……

となっています。

このうち、小数部分が１
２以下なのは
1×
3×
5×

の三つです。n=1～5でこのような数が三つあるので数列a(5)を
a(5)＝３
５と定義します。

同様にして、a(6),a(7),a(8)…,a(n),…を定義したとき
a(n)　(n→∞)の極限値を求めてください。

一般に以外の無理数ではどうなるかも考えてください。