円の面積を半径で微分すると円周の長さに、球の体積を半径で微分すると球の表面積に、どうしてなるのだろう。
こんな疑問を持つ人のために、これを一般化させた問題です。
【練習問題1】
半径rの円に外接する任意の多角形において、
面積をS*r2、各辺の合計の長さをL*rとすると、
d dr | S*r2= L*r |
が成立することを証明してください。
ただし、S,L はその時の係数です。
【練習問題2】
半径rの球に外接する任意の多面体において、
体積をV*r3、表面積をS*r2とすると、
d dr | V*r3 = S*r2 |
が成立することを証明してください。
ただし、V,S はその時の係数です。
【本命問題】
半径rのn次元超球に外接する任意のn次元超多面体において、
n次元超体積をP*rn、
それを囲む各(nー1)次元超体積の合計をQ*rn-1とすると、
d dr | P*rn = Q*rn-1 |
が成立するでしょうか?
成立する場合はその証明を、成立しない場合はその反例を示してください。
ただし、P,Q はその時の係数です。
n次元超体積とは、
長さ(n=1),面積(n=2),体積(n=3),…,k次元超体積(n=k),… のような
n次元での大きさです。
nは 2≦n の整数とします。
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