『n次元空間では?』


円の面積を半径で微分すると円周の長さに、球の体積を半径で微分すると球の表面積に、どうしてなるのだろう。
こんな疑問を持つ人のために、これを一般化させた問題です。


【練習問題1】

半径rの円に外接する任意の多角形において、
面積をS*r2、各辺の合計の長さをL*rとすると、


dr
S*r2= L*r

が成立することを証明してください。

ただし、S,L はその時の係数です。

【練習問題2】

半径rの球に外接する任意の多面体において、
体積をV*r3、表面積をS*r2とすると、


dr
V*r3 = S*r2

が成立することを証明してください。

ただし、V,S はその時の係数です。

【本命問題】

半径rのn次元超球に外接する任意のn次元超多面体において、
n次元超体積をP*rn
それを囲む各(nー1)次元超体積の合計をQ*rn-1とすると、


dr
P*rn = Q*rn-1

が成立するでしょうか?

成立する場合はその証明を、成立しない場合はその反例を示してください。

ただし、P,Q はその時の係数です。

n次元超体積とは、
長さ(n=1),面積(n=2),体積(n=3),…,k次元超体積(n=k),… のような n次元での大きさです。
nは 2≦n の整数とします。


 解答用紙はこちらです。 【寄せられた解答】


 ◆図形問題へもどる

 数学の部屋へもどる