『n次元美術館定理』

【問題１】

m頂点の多面体の形（凸でなくともよい）をした美術館に防犯カメラを設置しようと思います。

カメラは視線を遮る壁がない限り、全ての方向を監視することができます。
できるだけ少ない台数のカメラを設置して、死角を作ることなく監視できるようにしたいのです。

どんなm頂点の多面体であろうとも（凸でなくともよい)、防犯カメラが
［ｍ
４］台あれば、十分です。

このことを証明してください。

ただし［　］はガウス記号（その数を超えない最大の整数）であるとします。

【問題２】

ちょうど［ｍ
４］台必要になるような
多面体の例を作ってください。

【問題３】

n次元上のm頂点の多面体の形（凸でなくともよい）をした美術館に防犯カメラを設置しようと思います。

どんなm頂点の多面体であろうとも、防犯カメラが
［ m
n+1 ］台あれば、十分です。

このことを証明してください。

ただしn次元上の多面体は少なくともn+1頂点が必要です。
n次元上の多角形は少なくともn頂点が必要です。

【ヒント】

n次元上m台のカメラがあればいくつの頂点の多面体まで設置できるかを考えます。
まず、一台のカメラは2n+1頂点の多面体までは大丈夫と証明してください。