『中点の軌跡で囲まれる領域の面積』

【問題】

平面上に凸図形Cがあり、その面積はS、Cに含まれる二点間の距離の最大値はmである。
Cの境界上に定点Aをとり、Aから半直線ｌをCとの共有点がAのみになるように引く。

二つの動点P,Qを考えてPをCの境界上を動く点。Qを半直線l上を動く点とする。
PQ=M＞m、Mは定数とするとき、PQの中点の軌跡で囲まれる領域の面積はいくらか？

誰も答えてくれませんのでヒントを出します。
まずは簡単な例から考えてみましょう。
以下ではx-y平面を考えます。

【追加問題１】

上の問題において

凸図形Cを{ (x,y)| -1≦x≦0、0≦y≦1 }
半直線lを{ (x,0)| 0≦x }
M=2とおきます。

この場合で二点PQの中点が作る軌跡を求めてください。

【追加問題２】

上の問題において

凸図形Cを{ (x,y)| -a≦x≦0、0≦y≦b }
半直線lを{ (x,0)| 0≦x }
M=a+bとおきます。
ただし、a,bは正の定数です。

この場合で二点PQの中点が作る軌跡を求めてください。

【追加問題３】

追加問題１，２でそれぞれ軌跡に囲まれる領域の面積を求めてください。

以上の問題はヒントです。これをもとに考えてみてください。

　解答用紙はこちらです。　【寄せられた解答】

　◆図形問題へもどる

　数学の部屋へもどる