『３つの格子点』

山梨県　Footmark さんからの問題です。

【問題】

ｘｙ座標平面上で、ｘ値ｙ値とも整数である点を格子点とよぶものとする。

ある３つの格子点ｐ,ｑ,ｒにおいては、線分ｐｑ上にも、線分ｑｒ上にも、奇数個の格子点が存在する。
このとき、線分ｒｐ上にも奇数個の格子点が存在することを示せ。

滋賀県　ippei さんからの問題です。

【類題１】

X、Y座標平面上にある三角形の３辺の辺の上に格子点がある。
各辺上の格子点の個数に付いてどのような条件があれば、三角形の重心も格子点の上にありますか。

ただし、３頂点は格子点上にあるとし、辺上の格子点として、頂点の個数も数えることにします。

【類題２】

X、Y、Z座標上にある四面体の６辺の辺の上に格子点がある。
各辺上の格子点の個数に付いてどのような条件があれば、四面体の重心も格子点の上にありますか。

ただし、４頂点は格子点上にあるとし、辺上の格子点として、頂点の個数も数えることにします。

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