◆宮城県 甘泉法師 さんからの解答。
線分上に奇数個の格子点が存在することと、格子点を結ぶ線分の中点が格子点であることは同値である。
線分ｐｑの中点の格子点をｇ、線分ｑｒの中点の格子点をｈとする。
線分ｐｑに沿って三角形ｐｇｈを頂点ｐがｇと一致するまで平行移動させる。
格子の並進対称性と中点連結定理から頂点ｈの移動先は格子点で線分ｑｒの中点である。
したがって線分ｑｒ上には奇数個の格子点が存在する。
◆滋賀県 ippei さんからの解答。
３点を同時に平行移動して、点qが原点Oに一致するようにする。
すると、点ｐ、ｒ は２直線(１直線の場合も可)y＝ax,y=bx 上の格子点である。
ａ,ｂ は有理数であるから、既約分数 n/mの形をしている。
ｐ、ｒは原点から数えて、奇数番目にあるから、x座標、y座標とも、偶数となる。
したがって、ｐ、ｒの中点ｓは格子点であり、かつ線分ｒｐ上にある。
したがって、(p、r、s) の３点は格子点である。
(p＝rのときは、p＝r＝sとなるから、１点。)
線分ｒｐ上に、他の格子点があれば、その点とｓに関して対称な点は必ず線分ｒｐ上にある。
このようにして、点対称な２組の格子点と、中点の存在から、ｒｐ上には奇数個の格子点が存在する。
(終り)
◆宮城県 甘泉法師 さんからの解答。
【類題１】
三角形の三点の座標を（ｘ1,ｙ1）（ｘ2,ｙ2）（ｘ3,ｙ3）とすると
| 重心の座標は、（ | ｘ1+ｘ2+ｘ
3 3 |
, | ｙ1+ｙ2+ｙ3 3 |
） |
したがって題意を満たすには
ｘ1+ｘ2+ｘ3 と ｙ1+ｙ2+ｙ3 がともに３の倍数であればよい。
【類題２】
同様にして題意をみたすには ΣＸi, ΣＹi, ΣＺi が４の倍数であればよい。
ここでｉは頂点の番号、
いずれも和はｉ＝１から４まで。
◆出題者の山梨県 Footmark さんからのコメント。
早々に、解答ありがとうございます。
偶然にも、お二人とも平行移動ですね。
図形的にも容易に理解でき、うまい証明だと思います。
私が考えていたのは、ｘｙ座標の偶奇だけに着目した以下の証明でした。
２点間に奇数個の格子点があることと、２点の中点が格子点であることとは同値です。
また、２点の座標の平均値が、その２点の中点の座標です。
ですから、中点が格子点である２点(ｐ,ｑやｑ,ｒ)では、ｘ値の偶奇もｙ値の偶奇もそれぞれ等しい筈です。
（何故なら、そうでなければ中点の座標は[ｘ値,ｙ値とも整数]とはならず格子点ではありません。)
条件よりｘ値,ｙ値のそれぞれの偶奇が、ｐとｑで等しく、ｑとｒで等しいので、当然ｒとｐでも等しい筈です。
よって、ｒとｐの中点は格子点にあり、線分ｒｐ上には奇数個の格子点が存在します。
◆山梨県 Footmark さんからの解答。
以下、証明はすべて省略する。
【類題１】
三角形の３頂点の座標を、それぞれ
（ｘ1,ｙ1）（ｘ2,ｙ2）（ｘ3,ｙ3） とする。
● 三角形の重心が格子点である場合
重心の定義より明らかに、
ｘ1＋ｘ2＋ｘ3
曹1＋ｙ2＋ｙ3
曹O (mod ３)。
つまり、ｘ1＋ｘ2＋ｘ3もｙ1＋ｙ2＋ｙ3も３で割り切れる。
● 三角形の重心が格子点であり、どの辺上にも頂点以外の格子点が存在する場合
ｘ1曹2曹3 (mod ３) かつ
ｙ1曹2曹3 (mod ３)
このとき、どの辺上にも（３の正整数倍＋１）個の格子点が存在する。
● 三角形の重心が格子点であり、どの辺上にも奇数個の格子点が存在する場合
ｘ1曹2曹3 (mod ６) かつ
ｙ1曹2曹3 (mod ６)
このとき、どの辺上にも（６の正整数倍＋１）個の格子点が存在する。
【類題２】
四面体の４頂点の座標を、それぞれ
(ｘ1,ｙ1,ｚ1) , (ｘ2,ｙ2,ｚ2) ,
(ｘ3,ｙ3,ｚ3) , (ｘ4,ｙ4,ｚ4) とする。
● 四面体の重心が格子点である場合
重心の定義より明らかに、
ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4
曹1＋ｙ2＋ｙ3＋ｙ4
曹1＋ｚ2＋ｚ3＋ｚ4
曹O (mod ４)。
つまり、ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4もｙ1＋ｙ2＋ｙ3＋ｙ4もｚ1＋ｚ2＋ｚ3＋ｚ4も４で割り切れる。
● 四面体の重心が格子点であり、どの辺上にも頂点以外の格子点が存在する場合
ｘ1曹2曹3曹4 (mod ９) かつ
ｙ1曹2曹3曹4 (mod ９) かつ
ｚ1曹2曹3曹4 (mod ９)
このとき、どの辺上にも（９の正整数倍＋１）個の格子点が存在する。
● 四面体の重心が格子点であり、どの辺上にも奇数個の格子点が存在する場合
ｘ1曹2曹3曹4 (mod １８) かつ
ｙ1曹2曹3曹4 (mod １８) かつ
ｚ1曹2曹3曹4 (mod １８)
このとき、どの辺上にも（１８の正整数倍＋１）個の格子点が存在する。