『フィボナッチ数列の性質 Part4』

Ｆ₁=Ｆ₂=1,
Ｆ_n+2=Ｆ_n+1+Ｆ_n(n=1,2,3,…)で定められた数列Ｆ_nがある。
（フィボナッチ数列）

２数ａ，ｂの最大公約数を［ａ，ｂ］とする。
例えば、［１２，８］＝４である。

このとき、１以上の自然数に含まれる二数、ｍ，ｎについて、

Ｆ_{［ｍ，ｎ］}＝［Ｆ_ｍ，Ｆ_ｎ］

であることを証明せよ。

●例

フィボナッチ数列：１，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，５５，８９，１４４，２３３・・・

ｍ＝１２、ｎ＝８のとき、
［１２，８］＝４なので、
左辺＝Ｆ₄＝３

また、Ｆ₁₂＝１４４
Ｆ₈＝２１

∴右辺＝［１４４，２１］＝３

となり、右辺＝左辺となり成立する。