『フィボナッチ数列の性質』

　今、１月に生まれたばかりのウサギが「１つがい」いるとします。
このウサギは１ヶ月おいた３月から毎月１つがいずつの子ウサギを産み続けるとします。
また新しく生まれたつがいの子ウサギも、１ヶ月おいた次の月から一つがいずつの子ウサギを産み続けるとします。
その時、毎月のウサギの総数はどうなるかを考えましょう。

fig　
参考文献：マンホールのふたはなぜ丸い？　
　　　　　中村義作著　日本経済新聞社

月１月２月３月４月５月６月７月８月・・・
つがい数１１２３５８１３２１・・・

このように

Ｆ1＝Ｆ2＝１，

ｎ≧３の時、Ｆn＝Ｆn-1＋Ｆn-2となる数列を、フィボナッチ数列といいます。

この数列は以前に『にせ金を探せPart3』の解答でも登場しましたね。

今後はフィボナッチ数列にでてくる数を「フィボナッチ数」と呼びます。

【問題１】

　全ての自然数はいくつかのフィボナッチ数の和で表すことができます。
このことを証明してください。

　

【問題２】

　フィボナッチ数の中には３の倍数であるものがあります。
それはｎがどのような条件の時でしょうか。

【問題３】

　問題２の結果を証明してください。

【問題４】

　フィボナッチ数が素数であるとすると、「ｎ＝４またはｎ自身も素数」のいずれかになります。
このことを証明してください。（難問）

【問題５】

　東京都の中学校１年生　安里歩安彼　さんからの問題です。
どなたか挑戦にこたえてください。

フィボナッチ数列の数Ｆnの２乗Ｆn×Ｆnの倍数である、
最小のフィボナッチ数列の数をＦmとするとき、ｍを求めよ。

【問題６】NEW！

　愛知県　Y.M.Ojisan さんからの問題です。

ＦN+M+1＝ＦN+1ＦM+1＋ＦNＦM
(特にＦ2N+1＝ＦN+12＋ＦN2 )

を証明してください。

　解答用紙はこちらです。　【寄せられた解答】

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