『系列Ｍをまわせ』

【問題】

　右の図の電話のダイヤルは４つしかなく、しかも「０」と「１」しかありません。
でも隣接する２個ずつをつなぐと、すべて異なるパターン（２進数値）になっています。

数学的にいうと０と１でできた周期２²の周期数列で隣接する２項を２進数と見なすとき、１周期中に同じ値がない。

【問題１】

では、０と１でできた周期８（２³）の数列で、隣接する３項のパターンがすべて異なるものを作ってください。

【問題２】

０と１でできた周期１６（２⁴）の数列で、隣接する４項のパターンがすべて異なるものを作ってください。

【問題３】

０と１でできた周期１０（＜２⁴）の数列で、隣接する４項のパターンがすべて異なるものは出来るでしょうか。
パターン２進値が０～９である必要はありません。

【問題４】

一般に　０と１でできた周期２ⁿの数列で、隣接するｎ項のパターンが全て異なる数列を作る方法を考えてください。

【研究問題】

一般に　０と１でできた周期Ｍ（２^n-1＜Ｍ＜２ⁿ）の数列で、隣接するｎ項のパターンが全て異なる数列を作る方法を考えてください。

【うんちくとヒント】

この数列は単なる数学パズルでなく、レーダーとか位置センサに実際に応用されています。
また、この背景にはＫｎｕｔｈ等によるＭ系列の一様乱数の理論があります。