『掲示板の発展問題』

【問題１】

自然数 n を素因数分解したときの 2 の指数を e(n) とすると，
自然数 p，正の奇数 a に対して，

e(a^p - 1) ＝ α　　　　　　（p：奇数）
e(a^p - 1)＝ e(p) + β - 1　（p：偶数）

が成立することを証明せよ。ただし，

α ＝ e(a - 1)
β ＝ e(a² - 1)とする。

【問題２】

自然数 n に対して
a ＝ 2ⁿ + 1とするとき，
a^p - 1 が 2^p で割り切れるような自然数 p の値をすべて求めよ。