『奇数の完全数』

【問題】

自分自身は含めない約数の合計が、自分自身と等しい自然数を完全数と言います。
今までに発見された完全数はすべて偶数で、奇数の完全数は１つも発見されていません。
ところが、「奇数の完全数は存在しない」とも、今のところ証明されていません。

【問題１】

２以外の１つの素数Ｐと奇数の平方数Ｓとの積ＰＳでなければ、奇数の完全数でないことを示せ。

【問題２】

Ｐ＋１
２はＳの約数でなければならないことを示せ。

[ 補足 ]

どんな素数も明らかに完全数ではありませんから、Ｓ≠１です。
また、Ｐ＋１
２も当然奇数ですから、
Ｐ＝４ｎ＋１と判ります。（ただし、ｎは自然数。）

本問の前に、以下の完全数の２条件を証明してみてください。
奇数の完全数の条件を証明する何らかのヒントになると思います。

【ヒント問題１】

ｍが完全数なら、ｍには１以外の奇数の約数が必ず存在することを示せ。

【ヒント問題２】

ｍが完全数なら、ｍは平方数でないことを示せ。