『循環小数』

愛知県　exon さんからの問題です。

【問題】

nは自然数として、次の条件Ｑを満たす自然数の組(a,b)を考えます。

Ｑ： b
a が既約分数となり、かつこの分数の小数第n位の数c(n)とすると、
全てのnにおいてc(n)=c(n+i)を満たす自然数iが存在する。

このとき、条件Ｑを満たす任意の(a,b)とそのときのiの最小値mに対して、
10^mをaで割った余りはbに依らず1であることを証明してください。

循環小数をテーマとした問題です。
よく「0,14561456・・・・・を分数に直しなさい。」などの問題がありますが、本問はそれの拡張版です。