『循環小数』解答

◆東京都の高校生　もやし さんからの解答。

条件Ｑから、

ｂ ａ

を小数で表すと、

Ａ．ｐｑｒ……ｐｑｒ……
(ただしこれは数字の並びを表し、『．』は小数点で、Ａ，ｐ，ｑ，ｒ，……は全て自然数)

と表せ、ｐｑｒ……の部分は、ｉの最小値であるｍ個の数字で循環する。

従って、

ｂ ａ	×１０m＝Ａｐｑｒ……．ｐｑｒ……

これと、

ｂ ａ	＝Ａ．ｐｑｒ……ｐｑｒ……から、

ｂ ａ	(１０m−１)＝Ａｐｑｒ……−Ａ

これの右辺をＰとおいて、両辺をａ倍すると、
ｂ(１０^m−１)＝ａＰ　…※１

∴１０m＝

ａＰ ｂ

＋１　…※２

ここで、

ｂ ａ

が既約分数になるので、

ａとｂが互いに素であることと、等式※１が成り立つことから、

Ｐはｂの倍数であり、

ａＰ ｂ

は自然数になることがわかる。

よって、等式※２は自然数ｋを用いて
１０^m＝ａｋ＋１と表せる。

従って、１０^mをａで割ったときの余りはｂに依らず１になる。

証明終

循環小数→分数の作業を文字のままやったらできました。

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