『壁面による反射の軌跡』

東京都　サボテン さんからの問題です。

ボールと適当な形をした2次元の箱を考えます。
以下の仮定の下、問題を解いて下さい。

・仮定

  1. ボールの大きさは無視できるものとします(点と考えて下さい)

  2. ボールが箱の壁で反射する際は「入射角=反射角」が成り立つとします。

  3. ボールの運動は減衰することなく続くものとします。

  4. 多角形上の頂点にボールが到達した場合はそれ以上反射せず、運動は停止します。
【問題１】

1辺が1の正方形の箱を考えます。
正方形の辺上のある点から適当な角度でボールを打ち出します。
何回か反射を繰り返し、出発点に戻ってくる条件を求めなさい。

出発点に戻ってくるような運動を周期的運動と呼ぶことにします。

【問題２】

問題１と同じ正方形の箱を考えます。
正方形の辺上のある点から適当な角度でボールを打ち出します。
この時、ボールが箱の内部の点全てを通ることは可能でしょうか？
可能な場合は条件例を、不可能な場合はそのことを証明して下さい。

【発展問題】

以下の問題は私の力では解けませんでした。回答お待ちしています。

【発展問題１】

上の問題２で箱の形が正方形ではなく、円だった場合はどうなるでしょう?

【発展問題２】

C∞級の関数で形成される滑らかな閉曲線を考えます。
箱の形が円の時は周期的運動が存在します。
(例えば円の中心を通る運動)
しかし、閉曲線上のどの点からボールを打ち出しても非周期的運動になるような閉曲線は存在するでしょうか?

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