『5組の夫婦』


山梨県 Footmark さんからの問題です。

【問題1】

ここに5組の夫婦10人がいます。
ただし、どの旦那さんとどの奥さんが夫婦なのかは不明です。

奥さん達5人は横一列に並んでいます。

そこで、夫婦だと思える旦那さんを各奥さんの前に全員並べます。
そして、当たった組数だけ教えてもらいます。

首尾良く5組が当たったなら、そこで終わりです。
5組が当たるまで旦那さん達を並び替えます。

さて、多くとも何回で5組の夫婦が当たるでしょうか?
十分な回数の内で最も少ない回数を正解とします。


◆青木 コメント

『数当てゲーム「MOO」』を思い出しました。


愛知県 Y.M.Ojisan さんからの追加問題です。

【5組の夫婦の閑話】

5組の夫婦の問題で、情報が何もない状態で適当に予想した場合、
全120とおりの内、一組も当たらない場合が44(=M(5,0))とおりで、
一組だけ当たる場合が45(=M(5,1))とおりでその差は1とおりでした。
ここでM(N,p)はN組の夫婦の場合に、p組 当たる場合の数である。

【追加問題1】

|M(N,0)−M(N,1)|=1 を証明せよ。

【追加問題2】

M(N,0)
N!
 の N→∞の極限値をもとめよ。

(注)追加問題1の事実から、追加問題2が証明されることはない。多分。


山梨県 Footmark さんからの追加問題です。

【追加問題3】

旦那さん達は、以下の順に5つの並びをしたものとします。

1回目 : A,B,C,D,E
2回目 : B,C,D,E,A
3回目 : C,D,E,A,B
4回目 : D,E,A,B,C
5回目 : E,A,B,C,D

1回目〜5回目の順に5つの一致組数が1列に並んでいます。
そこで、5回目の一致組数の後に1回目の一致組数が続くように5つの一致組数を円順列にします。
すると奥さん達の並び方に関係なく、時計回りにある一致組数5つの並びは必ず反時計回りにもあることを証明してください。

ただし、途中で5組一致しても終わらずに、必ず5つの一致組数は得るものとします。

【追加問題4】

一般化して、夫婦がn組あるものとします。
旦那さん達は、【追加問題3】と同様なn個の並びを同様な順序でしたものとします。
その時のn個の一致組数も【追加問題3】と同様に円順列に並べます。

nのいかんに拘わらず、【追加問題3】のような一致組数の関係が成立するでしょうか?

成立するなら、そのことを証明してください。
成立しないなら、成立する時のnの条件を示してください。


 解答用紙はこちらです。  【解答1】 【解答2】


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