『５組の夫婦』

山梨県　Footmark さんからの問題です。

【問題１】

ここに５組の夫婦１０人がいます。
ただし、どの旦那さんとどの奥さんが夫婦なのかは不明です。

奥さん達５人は横一列に並んでいます。

そこで、夫婦だと思える旦那さんを各奥さんの前に全員並べます。
そして、当たった組数だけ教えてもらいます。

首尾良く５組が当たったなら、そこで終わりです。
５組が当たるまで旦那さん達を並び替えます。

さて、多くとも何回で５組の夫婦が当たるでしょうか？
十分な回数の内で最も少ない回数を正解とします。

◆青木　コメント

『数当てゲーム「ＭＯＯ」』を思い出しました。

愛知県　Y.M.Ojisan さんからの追加問題です。

【５組の夫婦の閑話】

５組の夫婦の問題で、情報が何もない状態で適当に予想した場合、
全１２０とおりの内、一組も当たらない場合が４４（=M(5,0)）とおりで、
一組だけ当たる場合が４５（=M(5,1)）とおりでその差は１とおりでした。
ここでＭ（Ｎ，ｐ）はＮ組の夫婦の場合に、ｐ組　当たる場合の数である。

【追加問題１】

｜Ｍ（Ｎ，０）－Ｍ（Ｎ，１）｜＝１　を証明せよ。

【追加問題２】

Ｍ（Ｎ，０）
Ｎ！　の　Ｎ→∞の極限値をもとめよ。

（注）追加問題１の事実から、追加問題２が証明されることはない。多分。

山梨県　Footmark さんからの追加問題です。

【追加問題３】

旦那さん達は、以下の順に５つの並びをしたものとします。

１回目　：　Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄ,Ｅ
２回目　：　Ｂ,Ｃ,Ｄ,Ｅ,Ａ
３回目　：　Ｃ,Ｄ,Ｅ,Ａ,Ｂ
４回目　：　Ｄ,Ｅ,Ａ,Ｂ,Ｃ
５回目　：　Ｅ,Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄ

１回目～５回目の順に５つの一致組数が１列に並んでいます。
そこで、５回目の一致組数の後に１回目の一致組数が続くように５つの一致組数を円順列にします。
すると奥さん達の並び方に関係なく、時計回りにある一致組数５つの並びは必ず反時計回りにもあることを証明してください。

ただし、途中で５組一致しても終わらずに、必ず５つの一致組数は得るものとします。

【追加問題４】

一般化して、夫婦がｎ組あるものとします。
旦那さん達は、【追加問題３】と同様なｎ個の並びを同様な順序でしたものとします。
その時のｎ個の一致組数も【追加問題３】と同様に円順列に並べます。

ｎのいかんに拘わらず、【追加問題３】のような一致組数の関係が成立するでしょうか？

成立するなら、そのことを証明してください。
成立しないなら、成立する時のｎの条件を示してください。