◆山梨県 Footmark さんからの解答。
【問題１】
【答え】
６回
【考察】
まず、５人の旦那さんを任意に横１列にさせます。
この時の５人の旦那さんを、左から ０,１,２,３,４ とします。
（奥さん達も自分の旦那さんと同じに表すものとします。）
この時、Ｐ組が一致したものとします。
Ｐ＝５なら、１回で終了です。
Ｐ≠５なら、１番左の旦那さん１人を１番右に移します。
旦那さん達の並びは、左から １,２,３,４,０ です。
この時、Ｑ組が一致したものとします。
Ｑ＝５なら、２回で終了です。
Ｑ≠５なら、Ｐ＝Ｑ＝１ の時以外はさらに１番左の旦那さん１人を１番右に移します。
旦那さん達の並びは、左から ２,３,４,０,１ です。
この時、Ｒ組が一致したものとします。
Ｒ＝５なら、３回で終了です。
仮に、同様な入れ替えをもう２回させて試行したものとすると、５回の並びで各奥さんは全員の旦那さんと向かい合います。
ところが自分の旦那さんは１人ですから、すべての奥さんが１回だけ一致します。
ですから、５回の試行での一致組数の合計は５組になる筈です。
また、ここで５回の一致組数の組合せを考えてみます。
５回目の一致組数の後に１回目の一致組数が続くように５つの一致組数を円順列に並べます。
すると、奥さん達の並びには関係なく時計回りにある５つの一致組数の並びは必ず反時計回りにもあります。（証明省略）
つまり、円順列においてその前後の一致組数が対象になる一致組数が少なくとも１つは存在します。
以上の２点より、１回目〜３回目の一致組数より ４回目,５回目の一致組数は一意に得られます。
ただし、１回目,２回目の一致組数さえ得れば ３回目〜５回目の一致組数が得られるものもあります。
ケース04の時は、同様な移動を多くとも今後２回させれば、必ず５組とも一致する筈です。
ですから、多くとも合計４回で判明し５回目で５組一致します。
ケース05〜ケース24の時(ケース16は除く)は、奥さん達の並び方の候補はそれぞれ５個ずつしかありません。
そこで、１番左にある候補の並びで試行します。
（上の図で、青色で示したのが一致箇所）
この時、Ｓ組が一致したものとします。
Ｓ＝５なら、４(３)回で終了です。
Ｓ≠５なら、いずれの場合もそれぞれ２個ずつの候補のある２通りの一致組数になります。
得た一致組数の２個の候補を順に試行すれば、多くとも今後２回で必ず５組とも一致する筈です。
ですから、多くとも合計５(４)回で判明し６(５)回目で５組一致します。
Ｐ＝Ｑ＝１の時、奥さん達の並び方の候補は以下の２０個です。
一定歩幅には歩幅１〜歩幅４がありますが、歩幅１は既に示した ケース01〜ケース04 です。
歩幅２〜歩幅４は ケース25 [１１１(１１)] です。
（ただし、歩幅１は連続、歩幅２は１つおき、歩幅３は２つおき、歩幅４は３つおきの意味）
また、この２０通りの一定歩幅の並び方には、お互いに次の２つの性質があります。
歩幅の違う並び同士を重ねると、必ず１箇所で一致して４箇所で一致しない。
歩幅の同じ並び同士を重ねると、５箇所とも一致するか５箇所とも一致しない。
そこで、一致組数が１,１,０(ケース16)の時の１番左にある候補の並びで試行します。
（上の図で、青色で示したのが一致箇所）
すると、それぞれの一致組数の候補は以下の通りです。
３組一致なら候補は１個ですから３回で判明し４回目で５組一致します。
（上の図で、青色で示したのが一致箇所）
すると、いずれの場合もそれぞれ２個ずつの候補のある３通りの一致組数になります。
得た一致組数の２個の候補を順に試行すれば、多くとも今後２回で必ず５組とも一致する筈です。
ですから、多くとも合計５回で判明し６回目で５組一致します。