『コンテストの問題 Part3』

【問題１】

最小の内角が30°, 斜辺の長さが1の直角三角形の周を含む内部に25個の点があります。
このとき、この中の3点を周または内部に含む直径0.29の半円が描けることを示してください。

【問題２】

実数に対して二項演算 '*' が定義されており、任意の実数a, b, cに対して
0*a = a, a*(b*c) = c*(b*a) が成立するものとします。

このとき、任意の実数a, b, cに対して、
a*(b*c) = (a*b)*c が成立することを示してください。

【問題３】

3つの自然数x, y, zの最大公約数は1であり、

1
x + 1
y = 1
z が成立しています。

このとき、x+y は平方数であることを示してください。

【問題４】

実数a, b, cが a+b+c=- 1
4 を満たすとき、

方程式 x³+3ax²+2bx+c=0 は 0＜x＜1 に少なくとも１つの解を持つことを示して下さい。

【問題５】

自然数 n に対し、4ⁿ+2ⁿ+1 が素数ならば、
n=3^m (m は非負整数) と書けることを示してください。

【問題６】

nを自然数とします。

f(n) = 1・3・5・・・(2n-1)
2・4・6・・・(2n) とするとき

lim
n→∞ f(n) を求めてください。

【問題７】

座標平面上のすべての格子点を3色のうちのひとつで塗ります。
このとき、座標軸に平行な辺を持ち、4つの頂点が同色の格子点である長方形が存在することを示してください。

【問題８】

x∈(0, π
2 ] のとき
sin x cos x＜sin(sin x)＜tanh x を示してください。